第五章導(dǎo)數(shù)和微分-文庫吧
2025-07-17 13:14 本頁面
【正文】 ( ??? 為正整數(shù) . (ii) xxxx s i n)( c os,c os)( s i n ?????(iii) ),0,1,0(l o g1)( l o g ????? xaaeaxxa .1)(lnxx ??.上的可 導(dǎo) 為 則稱 ),單側(cè)導(dǎo)數(shù)僅 考 慮 相 應(yīng) 的 ,對區(qū)間 端點(一點都可 導(dǎo)上 若函數(shù)在區(qū) 間函數(shù)導(dǎo)每IfI即或記作 , dxdyyf ??.,)()(0l i m)( Ixx xfxxfxxf ?? ???????定義 : 證 (i)和 (iii)的證明略 . (ii) 下面只證第一個等式 , 類似地可證第二個等式 . 由于 )2c o s (22s i n)2c o s (2s i n2s i n)s i n ( xxxxxxxxxxxx ??????????????因此得到 ,函數(shù)上的),( 是c os 又由 連續(xù)????xxxxxxxxx c o s)2c o s (0lim22s i n0lim)( s i n ????????????三 ﹑ 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 ? ? ? ?? ? ? ? 處 切 線 方程 為 ： 0,0在點 所以曲 線 ,處 切 線 的斜率0,0 在點 等于曲 線)0( yxxfyyxxfyxf???? ?? ?000 xxxfyy ????法線方程為 : )0()0(10 xxxfyy ?????注 : .))0(,0()(,0)(.))0(,0()(,0)(垂直的切線軸可能存在與在點即曲線是無窮大它的導(dǎo)數(shù)可能不可導(dǎo)在因為函數(shù)可能存在切線在點則曲線不可導(dǎo)在若函數(shù)xxfxxfyxxfxfxxfyxxf??例 .法 線線 方處 的切 線 方程 與 )0,0(在點 3求曲 線程yxPxy ? 解 由于 ,203203 xxxxxy ???????? ? .203)203203(0lim0 xxxxxxxf ?????????方程為的切 線 在點 3曲 線 ,所以 Pxy ?)0(2030 xxxyy ???方程為法 線的 在點 3曲 線 Pxy ?)0(203130 xxxxy ????? ?.值 點稱極 大 值 點 ﹑極 小 值 點 統(tǒng) ,極值極 大 值﹑極 小 值統(tǒng)稱為 .值 點)小(為極 大0 稱點 ,值)小(取得 極 0在點 則稱 函 數(shù) ) ) ,()0(()(0 有 )0(一切內(nèi) )0(的某 鄰 某0 在點 若函數(shù)極為大對xxfxfxfxfxfxUxxUxf???定義 3 定理 (費馬定理 ) 0)0(,0.0,0?? xffxxxf則必有的極值點為若點可導(dǎo)且在點的某鄰域內(nèi)有定義在點設(shè)函數(shù)注 : 極值點與穩(wěn)定點的關(guān)系 : 1. 極值點不一定是穩(wěn)定點 ,穩(wěn)定點也不一定是極值點 . 2. 可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是穩(wěn)定點 . 達布 (Darboux)定理 (導(dǎo)函數(shù)的介值定理 ) kfbabfafkbfafbaf????????????)(),(,)(),(),()(,],[?? 使得則至少存在一點之間任一數(shù)為介于且上可導(dǎo)在若函數(shù)證 : (略 ) 167。 2 求導(dǎo)法則 教學(xué)內(nèi)容： 1. 給出了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 . 2. 給出了反函數(shù)的求導(dǎo)法則 ,并得到了指數(shù)函數(shù) ,反三角函數(shù) 的求導(dǎo)公式 . 3. 給出了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 , 并得到了冪函數(shù)的求導(dǎo)公式 . 教學(xué)重點 : 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 . 要求 : 1. 掌握求導(dǎo)法則 ,尤其是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 . 2. 能熟練應(yīng)用求導(dǎo)法則及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式計算 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 一 導(dǎo)數(shù)的四則運算和復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t ))(),((,.4.211,2.3)。()(,)(.2。)(.1為可導(dǎo)函數(shù)為常數(shù)xuufydxdududydxdyvvvvuvuvucuccuvuvuuvvuvu???????????????????????????????????????則有為可導(dǎo)函數(shù)已知 ,)(),( xvvxuu ??問題的提出 : 從上一節(jié)可以看到 ,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義可以求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) , 但通常比較繁瑣 ,有沒有更為簡單、方便有效的方法求 函數(shù)特別是初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ? 初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算方法 : ； ； ； ； 例 ).1(),0(,12)( ffxxf ???? 求設(shè)解 由于 ,12)12(122112)(????????????? ???xxxxxxf.21)1(,0)0( ???? ff因此例 求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) : .12t a n)()2()。21l n ()()1( xxfxxxf ????解 .21121121121211)21l n ()1(xxxxxxxxxxx????????????????????????????????????二 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 基本求導(dǎo)法則 : .1dydxdxdy ?例 .)(),1,0(ln)()1( xexeaaaxaxa ?????? 特別地其中.211)( a r c c o s。211)( a r c s i n)2(xxxx???????.211)c o t(。211)( a r c t a n)3(xxa r cxx???????證 .lnl o g)( l o g1)(,),0(,l o g,)1(axaeayyaxayyaxRxxay???????????故的反函數(shù)為對數(shù)函數(shù)由于(2) (3)的證明略去 . 三 對數(shù)求導(dǎo)法 對數(shù)求導(dǎo)法的步驟 : 1. 兩端取絕對值之后 , 再取自然對數(shù) . 2. 等式兩端分別對自變量求導(dǎo) . ( x ) .yy,3. ?左端即等式兩端再乘以例 .)
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