第五章導(dǎo)數(shù)和微分-在線瀏覽
2024-09-11 13:14本頁面
【正文】 xf ??數(shù)類似地 , 可以定義 左導(dǎo)數(shù) 0xx)0f ( xf ( x )xl i m)0f ( x)0f ( x0l i m( x )/f0???? ?????? ?xxxx左 ﹑ 右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù) . 單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 : A)0(xf)0(xfA)0(xf ???????? 注 : 下列函數(shù)個(gè)別點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或左右導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義 . (1) 函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)的函數(shù)值單獨(dú)定義的 , 其余點(diǎn)的函數(shù) 值用統(tǒng)一解析式定義的 (函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)連續(xù) ). (2) 求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) . 例 .0)(.0,0,c o s1)(導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)處的左右在討論設(shè) ???????? xxfxxxxxf 解 由于 ?????????????????,0,1,0,c o s1)0()0(xxxxxfxf因此 ,0c o s10l i m)0( ?? ??????? ? x xxf110lim)0( ?????? ?xf.處 不可 導(dǎo) 0 在 所以 ,)0()0( 因 為 ?????? xfff.為 狄利克雷函 數(shù) )(其中 ,處 可 導(dǎo) 00僅 在點(diǎn))(2)( 證 明函 數(shù) 4例 xDxxDxxf ??.處 可 導(dǎo)0 在點(diǎn) )(所以 ,處 不 連續(xù) 00在點(diǎn) )(由 歸歸結(jié) 原理可 ,時(shí)00 當(dāng) 證xxxfxxfx??? 得.0)(0l i m0)0()(0l i m)0(,)(,00?????????xxDxxfxfxfxDx 因此得到為有界函數(shù)由于時(shí)當(dāng)可導(dǎo) → 連續(xù) 。 可以證明： 連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。 2 求導(dǎo)法則 教學(xué)內(nèi)容： 1. 給出了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 . 2. 給出了反函數(shù)的求導(dǎo)法則 ,并得到了指數(shù)函數(shù) ,反三角函數(shù) 的求導(dǎo)公式 . 3. 給出了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 , 并得到了冪函數(shù)的求導(dǎo)公式 . 教學(xué)重點(diǎn) : 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 . 要求 : 1. 掌握求導(dǎo)法則 ,尤其是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 . 2. 能熟練應(yīng)用求導(dǎo)法則及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式計(jì)算 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 一 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t ))(),((,.4.211,2.3)。)(.1為可導(dǎo)函數(shù)為常數(shù)xuufydxdududydxdyvvvvuvuvucuccuvuvuuvvuvu???????????????????????????????????????則有為可導(dǎo)函數(shù)已知 ,)(),( xvvxuu ??問題的提出 : 從上一節(jié)可以看到 ,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義可以求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) , 但通常比較繁瑣 ,有沒有更為簡單、方便有效的方法求 函數(shù)特別是初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ? 初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 : ； ； ； ； 例 ).1(),0(,12)( ffxxf ???? 求設(shè)解 由于 ,12)12(122112)(????????????? ???xxxxxxf.21)1(,0)0( ???? ff因此例 求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) : .12t a n)()2()。211)( a r c s i n)2(xxxx???????.211)c o t(。 3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 教學(xué)內(nèi)容： 本節(jié)給出了由參量方程所確定的參變量函數(shù)的 求導(dǎo)法則 . 教學(xué)重點(diǎn) : 參量方程的求導(dǎo)法則 . 要求 : 能熟練求出參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 問題的提出 : 前面兩節(jié)我們學(xué)習(xí)了顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求解方法 ,如何 求由參量方程所確定的參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢 ? )()()(.1???????????ttytxC 量方程一般的表達(dá)形式是參變平面曲線)1()( )( ttdxdy ?? ???則)2(t a n)()()(t a n)(,)(.2???????????????????dxdyC 則給出由極坐標(biāo)曲線例 試求由上半橢圓的參變量方程 ?????? ?? ttby tax 0,s i n ,c os所確定的函數(shù) )( xyy ? 的導(dǎo)數(shù) . 解 由公式 (1)求得 ? ?? ? tabtatbdtdxdtdydxdy c otc oss i n ??????例 .: 2 為常量的夾角上所有點(diǎn)的切線與向徑對數(shù)螺線證明 ?? ?e?證 由公式 (2)有 2a r c t an,221)()(t a n22于的切線與向徑的夾角等即在對數(shù)螺線上任一點(diǎn)???????????ee167。 給出了求兩個(gè)函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式。 教學(xué)重點(diǎn)： 各類函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。 問題的提出： 速度是位移的導(dǎo)數(shù)，而加速度又是速度的導(dǎo)數(shù)，那么加速 度與位移是什么關(guān)系呢？ 一 高階導(dǎo)數(shù)的概念 二階導(dǎo)數(shù)的定義 定義 1：若函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) 在點(diǎn) 可導(dǎo)，則稱 在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)為 在點(diǎn) 的二階導(dǎo)數(shù)，記作 ，即 同時(shí)稱 在點(diǎn) 為 二階可導(dǎo)。 高階導(dǎo)數(shù)： 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。 nyx?解 由冪函數(shù)的求導(dǎo)公式得 12( 1 ) ( 2 )( ) ( 1 )( 1 ) ( 2 ),( 1 ) ,( ) ( 1 ) 2( ) ( ( 1 ) 2 ) ! ,nnnnnnnny n xy n n xy y n n xy y n n x nyy???????? ??? ???? ? ???? ? ? ?????，?= ?= 0. 由此可見，對于正整數(shù)冪函數(shù) xn，每求導(dǎo)一次，其冪次降低 1，第 n 階導(dǎo)數(shù)為一常數(shù)，大于 n 階的導(dǎo)數(shù)都等于 0。 (
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