第五章導(dǎo)數(shù)和微分-資料下載頁
2025-08-01 13:14本頁面
【正文】 的切線方程在點 的縱坐標(biāo)。 ③導(dǎo)數(shù)通常用于關(guān)于函數(shù)性質(zhì)理論的研究，而微分通常用于近似 計算和微分運(yùn)算。 )(xf 0x )( 0xf ?)( 0xf? ))(( 00 xxxfdy ??? x? ? .0))((limlim 0000???? ?? xxxfdy xxxx)( 0xf? )( xfy ? ))(,( 00 xfx))(( 00 xxxfdy ??? )( xfy ?))(,( 00 xfx x三 微分的運(yùn)算法則 微分運(yùn)算法則 ① ② ③ ④ ? ? ；)()()()( xdvxduxvxud ???? ? )。()()()()()( xdvxuxduxvxvxud ??。)()()()()()()(2 xvxdvxuxduxvxvxud ??????????).(,)()())(( xgudxxgufxgfd ????? 其中一階微分方程的不變性 ? ? ),(,)( xguxgfy ??則 ? ? duufdxxgxgfdy )()()( ????函數(shù)微分的計算方法 （ 1） 利用微分運(yùn)算法則 例 1 求 的微分。 22 co s xInxxy ??解 )( c o s)()c o s( 2222 xdI n xxdxI n xxddy ????)( c o s)()( 222 xdI n xdxxI n x d ???dxxI n xx )s i n212( 2???（ 2） 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求微分，即 ).( xfdy ??例 求 的微分。 xIny 2t a n?解 因為 所以 xxxxy 22c o ss i n22s e ct a n1 ?????dxxxdy 3c o ss i n2?（ 3）利用一階微分形式的不變性 例 2 求 的微分。 )sin( baxey ??解 由一階微分形式不變性，可得 ))( s i n ()s i n ( baxdedy bax ?? ?)()c o s ()s i n ( baxdbaxe bax ??? ?dxbaxae bax )c o s ()s i n ( ?? ＋四 高階微分 高階微分： 二階以及二階以上的微分統(tǒng)稱為高階微分。 .)( 22 dxxfyd ??? 二階微分： 一階微分的微分稱為二階微分。記作 且有 yd2（ 1） n階微分： n1階微分的微分稱為 n階微分，記作 且有 ydn.)()( nnn dxxfyd ? （ 2） 例 3 設(shè) 分別依公式（ 1）、 （ 2）求 .)(,s i n)( 2ttxxxfy ???? ?.2yd解 由 得 依公式（ 1）得 類似地，依公式（ 2）得 ,s i n4c o s2,c o s2 2222 tttytty ??????.)s i n4c o s2( 22222 dttttyd ??22222 c o ss i n)()( xdxxdxxdxfdxxfyd ????????22222 2cos)2(s i n dttdttt ?????.)s i n4c o s2( 2222 dtttt ??2s in ty ?五 微分在近似計算 函數(shù)的近似計算 近似計算公式： ① 當(dāng) 很小時， x? xxfdyy ????? )(0例 5 設(shè)鐘擺的周期是 1秒，在冬季擺長至多縮短 ，試 問此鐘每天至多快幾秒？ 解 由物理學(xué)知道，單擺周期 T與擺長 l的關(guān)系為 ,2glT ??其中 g是重力加速度。已知鐘擺周期為 1秒，故此擺原長為 .)2( 20 ?gl ?當(dāng)擺長最多縮短 ，擺長的增量 它引起 單擺周期的增量 （見下頁） ,??? llgllgldldTT ll ????????? ?20210??).(0002,0)(98022秒???? ?這就是說 ,加快約 ,因此每天大約加快 ).( 0 0 秒????例 4 求 的近似值。 ?33sin),606s i n (33s i n ?? ???解 由于 因此取 ,6,s i n)( 0??? xxxf,60???x 由上述式子得到 602321606c o s6s i n33s i n???? ??????? .?② 當(dāng) 很小時， xxfxfxxf ????? )()()(000x?注： 利用該公式時，要找一鄰近 的點 ，使得 和 容易計算。 x )( 0xf0x)( 0xf?注： 在原點附近常用的近似公式： xx ?s in xx ?ta nxxIn ?? )1( xe x ?? 1誤差估計 絕對誤差限公式： xxfxxfy ?)()( 00 ??????（ 為誤差限） x?相對誤差限公式： xyxfxfy ??)()(000??例 6 設(shè)測得一球體的直徑為 42cm，測量工具的精度為 . 試求以此直徑計算球體體積時所引起的誤差。 解 由直徑 d計算球體體積的函數(shù)式為 361 dV ??取 求得 ,420 ?? dd ? ),(61 3300 cmdV ?? ?并由上述公式可求得體積的絕對誤差限和相對誤差限分別為 )(2213220cmd dv??????????006121030200???? ddvdddV???
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