第五章導(dǎo)數(shù)和微分-文庫吧資料
2025-08-07 13:14本頁面
【正文】 的二階導(dǎo)數(shù)。 ???????0,0,)(22xxxxxf解 當(dāng) 時， 當(dāng) 時， 當(dāng) 時，由左右導(dǎo)數(shù)定義不難求得 而當(dāng) 時， 不存在，整理后得 當(dāng) 時 0?x0?x)。 注： 用類似的方法，可求得三角函數(shù) y=sin x ,y=cos x及指 數(shù)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)。 0xf f?f?f0x0x0()fx??000( ) ( )l i m ( ) ,xf x f x fxxx????? ????f 0xff二 高階導(dǎo)數(shù)的計算 n 個初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 例 1 求冪函數(shù) （ n 為正整數(shù)）的各階導(dǎo)數(shù)。 n 階導(dǎo)數(shù)： 的 n1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 的 n 階導(dǎo)數(shù)。 要求： 熟練掌握各類函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的計算及萊布尼茨公式的應(yīng)用。 給出了求由參量方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的計算公式。 4 高階導(dǎo)數(shù) 教學(xué)內(nèi)容： 給出了高階導(dǎo)數(shù)的定義，并得到冪函數(shù) y=xn、三角函數(shù) y=sinx、 y=cosx、指數(shù)函數(shù) y=ex的 n階導(dǎo)數(shù)公式。211)( a r c t a n)3(xxa r cxx???????證 .lnl o g)( l o g1)(,),0(,l o g,)1(axaeayyaxayyaxRxxay???????????故的反函數(shù)為對數(shù)函數(shù)由于(2) (3)的證明略去 . 三 對數(shù)求導(dǎo)法 對數(shù)求導(dǎo)法的步驟 : 1. 兩端取絕對值之后 , 再取自然對數(shù) . 2. 等式兩端分別對自變量求導(dǎo) . ( x ) .yy,3. ?左端即等式兩端再乘以例 .),4()4(5)2()4(2)5(2131yxxxxxy ??????? 求設(shè)先對函數(shù)取對數(shù) , 得 解 ).4l n (21)2l n (5)4l n (31)5l n (2)4(5)2()4(2)5(lnln2131?????????????xxxxxxxxy再對上式兩邊分別求對數(shù) , 得 .)4(2 125)4(3 152 ????????? xxxxyy整理后得到 .)4(2125)4(3152)4(5)2()4(2)5(2131?????????????????????xxxxxxxxy補充 : 分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例 設(shè) ???????????????? ),1,0(0,s i n0,212)( aaxxxxaxaaxf).( xf ?求當(dāng) 解 2s i nc o s)(,0ln2)(,0xxxxxfxxaaaxfx????????當(dāng) xaxaaxxfxfxf12120l i m0)0()(0l i m)0(_????????????aaxxaaxln2)1(20lim ?????xxxxxfxfxf1s i n0lim)0()(0lim)0(??????????02 1c os0l i m2s i n0l i m ??????? ?? xxxxxxx)0()0( ????? ff???????????????.0,2s i nc o s,0,ln2)()0(xxxxxxxaaaxff 因此不存在，故167。21l n ()()1( xxfxxxf ????解 .21121121121211)21l n ()1(xxxxxxxxxxx????????????????????????????????????二 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 基本求導(dǎo)法則 : .1dydxdxdy ?例 .)(),1,0(ln)()1( xexeaaaxaxa ?????? 特別地其中.211)( a r c c o s。()(,)(.2。 二 導(dǎo)函數(shù) 特別 例 證明 (i) nnnxnx ,1)( ??? 為正整數(shù) . (ii) xxxx s i n)( c os,c os)( s i n ?????(iii) ),0,1,0(l o g1)( l o g ????? xaaeaxxa .1)(lnxx ??.上的可 導(dǎo) 為 則稱 ),單側(cè)導(dǎo)數(shù)僅 考 慮 相 應(yīng) 的 ,對區(qū)間 端點(一點都可 導(dǎo)上 若函數(shù)在區(qū) 間函數(shù)導(dǎo)每IfI即或記作 , dxdyyf ??.,)()(0l i m)( Ixx xfxxfxxf ?? ???????定義 : 證 (i)和 (iii)的證明略 . (ii) 下面只證第一個等式 , 類似地可證第二個等式 . 由于 )2c o s (22s i n)2c o s (2s i n2s i n)s i n ( xxxxxxxxxxxx ??????????????因此得到 ,函數(shù)上的),( 是c os 又由 連續(xù)????xxxxxxxxx c o s)2c o s (0lim22s i n0lim)( s i n ????????????三 ﹑ 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 ? ? ? ?? ? ? ? 處 切 線 方程 為 ： 0,0在點 所以曲 線 ,處 切 線 的斜率0
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