第2章導數(shù)與微分-文庫吧資料
2024-10-09 00:39本頁面
【正文】 )22s i n ( ?xy )23s i n ( ???? x…… )2s i n ()( ???? nxy n即 ()( s i n ) s i n ( )2nx x n ?? ? ?同理 ()( c o s ) c o s ( )2nx x n ?? ? ?)(, nx yay 求設 ?例 14 前頁 結束 后頁 解 如圖，正方形金屬片的面 積 A 與邊長 x 的函數(shù)關 系 為 A = x2 , 受熱后當邊長由 x0伸長到 x0+ 時 , 面積 A 相應的增量為 x? 微分的概念 例 1 設有一個邊長為 x0的正方形金屬片，受熱后它的 邊長伸長了 ，問其面積增加了多少？ x?202020 )(2)( xxxxxxA ????????? 微分 前頁 結束 后頁 的線性函數(shù) 同階的無窮??；時與是當 xxxx ???? 0,20從上式可以看出， xA ?? 是分成兩部分：第一部分 xA ?? 是分成兩部分：第一部分高階的無窮小。xx ?????????????或 導數(shù)的概念與幾何意義 前頁 結束 后頁 導數(shù)定義與下面的形式等價： .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ?????若 y =f (x)在 x= x0 的導數(shù)存在，則稱 y=f(x)在點 x0 處可導，反之稱 y = f (x)在 x = x0 不可導，此時意味著不存在 .函數(shù)的可導性與函數(shù)的連續(xù)性的概念都是描述函數(shù)在一點處的性態(tài)，導數(shù)的大小反映了函數(shù)在一點處變化 (增大或減小 )的快慢 . 前頁 結束 后頁 左導數(shù) : .)()(lim)( 0000 xxfxxfxfx ?????????? 右導數(shù) : .)()(lim)( 0000 xxfxxfxfx ??????????顯然可以用下面的形式來定義左、右導數(shù) ,)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ??????? .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ???????定理 y = f (x)在 x =x0可導的充分必要條件是 y = f (x)在 x=x0 的左、右導數(shù)存在且相等 . 前頁 結束 后頁 當自變量 從變化到 時，曲線 y=f(x)上的點由 變到 )).(,( 00 xxfxxM ????此時 為割線兩端點 M0， M的橫坐標之差，而 則為 M0， M 的縱坐標之差，所以 即為過 M0， M兩點的割線的斜率 . 0x) ) .(,( 000 xfxMx?y?xy??xx ??0M0 M 0x xx ??0前頁 結束 后頁 曲線 y = f (x)在點 M0處的切線即為割線 M0M當 M沿曲 線 y=f(x)無限接近 時的極限位置 M0P， 因而當 時，割線斜率的極限值就是切線的斜率 .即： 0xD ?0 0( ) lim lim t a n t a nxyf x kx ?? ??? ? ??? ? ? ? ??所以，導數(shù) 的幾何意義是曲線 y = f (x) 在點 M0(x0,f(x0))處的切線斜率 . )( 0xf ?M0 M 0x xx ??0P0M? ?前頁 結束 后頁 設函數(shù) y=f(x)在點處可導，則曲線 y=f(x)在點處的切線方程為： 而當 時 ,曲線 在 的切線方程為 0001( ) ( ) .()y f x x xfx? ? ? ??0xx?(即法線平行 y軸 ). 0xx?0 0 0( ) ( ) ( ) .y f x f x x x?? ? ?當 時 ,曲線 在 的法線方程為 0( ) 0fx? ? ()fx 0M而當 時 ,曲線 在 的法線方程為 0( ) 0fx? ? ()fx 0M0()fx? ?? ()fx 0M前頁 結束 后頁 例 3 求函數(shù) 的導數(shù) 解 : (1)求增量 : (2)算比值 : (3)取極限 : 同理可得 : 特別地 , . 2xy ?( ) ( )y f x x f x? ? ? ? ?2 2 2( ) 2 ( )x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?xxxy ????? 2xxxxyyxx2)2(limlim00????????????為正整數(shù)）nnxx nn ()( 1???11( ) ( )xn? ??前頁 結束 后頁 例 4 求曲線 在點 處的切線與法線方程 . 解 :因為 ,由導數(shù)幾何意義 ,曲線 在點 的切線與法線的斜率分別為 : 于是所求的切線方程為 : 即 法線方程為 : 3xy ? )8,2(23 3)( xx ??3xy ?)8,2(1211,12)3(122221 ???????? ?? kkxyk xx)2(128 ??? xy01612 ??? yx)2(1218 ???? xy即 09812 ??? yx前頁 結束 后頁 可導性與連續(xù)性的關系 定理 2 若函數(shù) y = f (x)在點 x0處可導， 則 f(x)在點 x0 處連續(xù) . 證 因為 f (x)在點 x0處可導，故有 0 0( ) lim .xyfxx?
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