【正文】 ??2202( 0)(1 ) xxfx ???????22302 ( 3 1 )( 0 )(1 ) xxfx ????? ??。()(])()([ xvxuxvxu ??????( ) ( ) .( ) ( )u x u xv x v x? ?????????分段函數(shù) 求導(dǎo)時(shí) , 分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求 . 例 5 ).(,0),1ln ( 0,)( xfxx xxxf ???????? 求設(shè)解 ( ) 1 ,f x x????,0時(shí)當(dāng) ?x,0時(shí)當(dāng) ?x0l n ( 1 ) l n ( 1 )( ) l imhx h xfxh?? ? ? ?? ?01l im l n 11hhhx????? ?????11 x? ?0,x ?當(dāng) 時(shí)hhfh)01l n ()0(l i m)0(0???????? ,1?hhfh)01l n ()]0(1l n [lim)0(0????????? ,1?.1)0( ??? f.0,110,1)(??????????? xxxxfxxxxxxxCta nse c)(se cse c)(t a nc o s)(si n0)(2???????? xxxxxxxxxc o tc sc)( c scc sc)( c o tsi n)( c o s)(21???????????????axxaaaaxxln1)( l o gln)(????xxee xx1)(ln)(????初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 小結(jié) 2211)( a r c t a n11)( a r c si nxxxx??????2211)co t(11)( a rc co sxxxx????????arc、差、積、商的求導(dǎo)法則 設(shè) ) ( ), ( x v v x u u ? ? 可導(dǎo)，則 （ 1 ） v u v u ? ? ? ? ) ( , （ 2 ） u c cu ? ? ? ) ( （ 3 ） v u v u uv ? ? ? ? ? ) ( , （ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 ? ? ? ? ? ? v v v u v u v u . ( 是常數(shù) ) C? ?定理 25 ()( ) 0 , ( ),11( ) .()yxxyx y Iy y f xIf x yy x????? ???? ??? ?如 果 函 數(shù) 在 某 區(qū) 間 內(nèi) 單 調(diào) 、 可 導(dǎo)且 那 末 它 的 反 函 數(shù) 在 對(duì) 應(yīng) 區(qū) 間內(nèi) 也 可 導(dǎo) 且 有或即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù) . 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 例 1 .a r c s i n 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) xy ?解 sin , ,22yx y I ????? ? ?????在 內(nèi) 單 調(diào) 、 可 導(dǎo),0cos)(si n ??? yy且 內(nèi)有在 )1,1( ??? xI)( s i n1)( a r c s i n??? yx ycos1?y2s in11?? .1 2x??.1 1)( a r c c o s 2xx ????同理可得 。nniiiif x f x????? ????????? ?( 2 ) ( ) ( ) 。( 2) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) 。 0 .c ?1( ) 39。( 1 Rxxx ??? ? ?? ?? ，推廣： 證明 1( ) 39。 ?求常值函數(shù) c 的導(dǎo)數(shù) . 對(duì)于常值函數(shù) f (x) = c 的導(dǎo)數(shù) . 恒有 從而有 即 幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 證明： 例 2 0( ) l imx x xxxaaax?????? ?? xaa xxx??? ???1lim0.ln aa x?由導(dǎo)數(shù)定義得 證明 ( ) l nxxa a a? ? (a 0, a≠1為常數(shù)） 即 ( ) l nxxa a a? ?? ?01 l im l n 1xxxta t at????? ?例 3 證明： nn xxxy ????? )(1 2 2( 1 ) ( ) ( ) ,2n n nnnn x x x x x?? ?? ? ? ? ? ? ?])()(2 )1([limlim 12100???????????????? nnnxxxxxnnnxxy ?.1?? nnx1( ) 39。 ( 0 )x x x R?? ???? ? ?，.t a n dxdyk ?? ?oxbxky ??xy?函數(shù) y = f (x) 的在 x0 處的導(dǎo)數(shù)即為曲線 C: y =f (x)在 點(diǎn) (x0, f (x0))的切線的斜率。)()()2( x xfxxfxy ???? ???算比值.lim)3(0 xyyx ??? ???求極限( ) l nxxa a a? ? xx?（ e ） =e( ) 39。 00 xxxfxf ??0()fx? 可以看作導(dǎo)函數(shù) ()fx? 在 x0的函數(shù)值，即 .,0慢程度而變化的快因變量隨自變量的變化反映了它處的變化率點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn) x00( ) ( )f x x f xx? ? ??000( ) ( )l imxf x x f xx??? ? ??平均變化率 瞬時(shí)變化率 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)，可分為如下三個(gè)步驟： )。 xxy ? ，0,xxdydx ?0.xxdfdx ?存在，則稱函數(shù) y = f (x)在點(diǎn) x0可導(dǎo) ， 并稱此 極限值為函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn) x0 的 導(dǎo)數(shù) ，記作 0()fx? ，設(shè)函數(shù) y = f (x)在點(diǎn) x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義 . 若極限 或 導(dǎo)數(shù)的定義 注 1 000 00( ) ( )( ) l im l im .x x xf x f xyfxx x x? ? ???? ????注 2 注 3 若極限不存在，則稱 f (x)在 x0不可導(dǎo) . 若 0limx yx?? ? ??? ，則稱 f (x)在 x0的導(dǎo)數(shù) 為 無(wú)窮大 . 若令 0x x x? ? ? ，當(dāng) 0x??時(shí)， 0xx? ，.)()(lim)( 0000 hxfhxfxfh?????導(dǎo)數(shù)定義其它常見(jiàn)形式： 0limxyx????－設(shè)函數(shù) y = f (x)在點(diǎn) x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義 . 若極限 存在，則稱 y = f (x)在點(diǎn) x0 左可導(dǎo) ， 且稱此極限值 為函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn) x0 的 左導(dǎo)數(shù) ， 0( ).fx??左右導(dǎo)數(shù) 記作 00( ) ( ) .f x f x?????0()fx? 存 在 f (x)在 x0可導(dǎo)的充要條件是： f (x)在 x0 既左可導(dǎo) 又右可導(dǎo)，且 即 00( ) ( ) .f x f x????? 存 在0( ).fx??同樣可定義 右導(dǎo)數(shù) ： 導(dǎo)函數(shù)的概念 若函數(shù) y = f (x)在開(kāi)區(qū)間 I內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱 f (x)在 I 內(nèi)可導(dǎo) . 此時(shí)對(duì) ,xI?? 有導(dǎo)數(shù) ()fx? 與之 對(duì)應(yīng)，從而在 I內(nèi)確定了一個(gè)新的函數(shù)，稱為 y = f (x)的 導(dǎo)函數(shù) ，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，記為 ()fx? ， dydx， ().d f xdx.)(39。 ?? ? ff（ 2）若 f (x)在 x0點(diǎn)連續(xù)，則它在 x0點(diǎn)未必可導(dǎo) . f (x) = | x | 在點(diǎn) x0＝ 0處連續(xù)但不可導(dǎo) . 一方面 00l im l im 0xxyx? ? ? ?? ? ? ? ，所以 f (x)在 x0點(diǎn)連續(xù) . 另一方面 039。 0 ???? ???? xxf x，)0(39。 0 ?? ??? ???? xxf x（ 3） x = 0時(shí)，由于 所以 于是得 左右導(dǎo)數(shù)相等 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 .t a n dxdyk ?? ?oxbxky ??xy?函數(shù) y = f (x) 的在 x0 處的導(dǎo)數(shù)即為曲線 C: y =f (x)在 點(diǎn) (x0, f (x0))的切線的斜率。(0 ) 1f ? ，10lim)0(39。nnx nx n?? ，為正整數(shù) . nyx? ，令 則 即 由二項(xiàng)式定理 例 4 已知 sin 0()0xxfxxx???? ??， ，( ).fx?解： ( ) ( sin )f x x???.c o s)2c o s (2s i n2lim0xxxxxx????????( ) ( )f x x???xxxxx ???????s i n)s i n (lim0公式 1( ) , 1xx?????? ??求 （ 1）當(dāng) x 0時(shí)， （ 2）當(dāng) x 0時(shí)， 1.?由導(dǎo)數(shù)定義 ??????.010c o s)(39。nnx nx ?? 1( ) 39。)()()2( x xfxxfxy ???? ???算比值.lim)3(0 xyyx ??? ???求極限例 1 解： ? ?1 ( ) ( ) 0 ,y f x x f x c c? ? ? ? ? ? ? ?? ? 03 l im 0 .x yx?? ? ??( ) 39。 ( )f x f x??、區(qū)分下面兩組符號(hào) : 表示導(dǎo)函數(shù) 00( ) ( )f x f x????、表示在 x0點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)； ()fx? 在 x0點(diǎn)的 左、右極限 . 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)，可分為如下三個(gè)步驟： )。 00 xxxfxf ??0()fx? 可以看作導(dǎo)函數(shù) ()fx? 在 x0的函數(shù)值，即 注 0039。 0 Ixx xfxxfxf x ??? ???? ?? ，此時(shí)導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）定義為 .)(39。 0x??當(dāng) 時(shí)，割 xyO()y f x?0x0yx?y??y?0PP?曲線的切線斜率 000 0 0( ) (l im ta n l im l im ta nx x xf x x f xyxx??? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ???）割線的斜率 就會(huì)無(wú)限接近切線的斜率 tan ,? tan?變速直線運(yùn)動(dòng)的 瞬時(shí) 速度 ? ? 000 00 ( ) ( )l im l imtt s s t t tvt tt? ? ? ?? ? ? ??? ??曲線的切線斜率 0000( ) (ta n l im l imxxf x x f xyxx? ? ? ? ?? ? ??????）導(dǎo)數(shù) 定義 21 0000( ) ( )l i m l i mxxf x x f xyxx? ? ? ?? ? ?? ???039。 00( ) ( ) .s t s ttt???0000( ) ( )l im l imtts s t t tvtt? ? ? ?? ? ? ?????采取“極限”的手段：如果平均速度 時(shí)的極限存在， 0t??,sv t?? ? 當(dāng) 則自然地把此極限 (記為 v ) 定義為質(zhì)點(diǎn)在 t = t0 時(shí)的瞬時(shí)速度或速度 : 該極限值就是 t0 時(shí)刻的瞬時(shí)速度 v（ t0 ）。 導(dǎo)數(shù)的概念 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)法則 函數(shù)的微分及其應(yīng)用 中值定理與 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 39。第 2章 導(dǎo)數(shù)與微分 本章重點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)與微分的概念； 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式； 求導(dǎo)法則 。 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 本章難點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)與微分的概念； 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。( )dy f x dx?第 2章 導(dǎo)數(shù)與微分 兩個(gè)實(shí)例 導(dǎo)數(shù)的定義 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 導(dǎo)數(shù)的概念 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在 t 軸上從某一點(diǎn)開(kāi)始作變速直線運(yùn) 動(dòng)，已知運(yùn)動(dòng)方程為 s =s (t). 記 t = t0 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置坐 標(biāo)為 s0= s( t0 ). 當(dāng) t 從 t0 增加到 t0＋