【正文】 ?t 時， s 相應地 在 ?t 這段時間內(nèi)的位移為 兩個實例 00( ) ( )s t t ts s??? ?? ，00( ) ( ) .s s t t s tvtt? ? ? ?????而在 ?t 時間內(nèi)質點的平均速度為 隨著 ?t 的減小，平均速度 就愈接近質點在時刻 vt0的 瞬時速度 (簡稱 速度 ). 但無論 ?t 取得怎樣小， 平均速度 總不能精確 刻畫質點在時刻 t = t0的運動 變化率。 ? ?0vt?曲線的切線斜率 00()P x x y y? ? ? ?， ，設曲線 L的方程為 0 0 0( ) ( )y f x P x y? ， ，為 L上的一個定點 . 點 P0 的切線，可在 曲線上取鄰近于 P0 的點 割線 P0 P 的斜率 : xyO()y f x?0x0yx?y??y?0PP為求曲線 y = f (x) 在 00( ) ( )ta n y f x x f xxx?? ? ? ????? ，算出 割線的極限位置 —— 切線位置 割線的極限位置 —— 切線位置 割線的極限位置 —— 切線位置 割線的極限位置 —— 切線位置 割線的極限位置 —— 切線位置 割線的極限位置 —— 切線位置 割線的極限位置 —— 切線位置 割線的極限位置 —— 切線位置 割線的極限位置 —— 切線位置 線 P0P 的極限位置 00ta n( ) ( )yxf x x f xx????? ? ???，即為點 P0 處的切線。 xxy ? ，0,xxdydx ?0.xxdfdx ?存在，則稱函數(shù) y = f (x)在點 x0可導 ， 并稱此 極限值為函數(shù) y = f (x) 在點 x0 的 導數(shù) ，記作 0()fx? ，設函數(shù) y = f (x)在點 x0的某一個鄰域內(nèi)有定義 . 若極限 或 導數(shù)的定義 注 1 000 00( ) ( )( ) l im l im .x x xf x f xyfxx x x? ? ???? ????注 2 注 3 若極限不存在，則稱 f (x)在 x0不可導 . 若 0limx yx?? ? ??? ，則稱 f (x)在 x0的導數(shù) 為 無窮大 . 若令 0x x x? ? ? ，當 0x??時， 0xx? ，此即說明導數(shù)也可簡述為 差商的極限 . ? ? 000 00 ( ) ( )l im l imtt s s t t tvt tt? ? ? ?? ? ? ??? ??曲線 y = f (x)在點 x0處 的 切線斜率 0000t a n l i m( ) (l i mxxyxf x x f xx????????? ? ???）運動方程為 s = s (t) 在時刻 t0 的 瞬時速度 ? ?0st??? ?0fx??0limxyx????－設函數(shù) y = f (x)在點 x0的某一個鄰域內(nèi)有定義 . 若極限 存在，則稱 y = f (x)在點 x0 左可導 ， 且稱此極限值 為函數(shù) y = f (x) 在點 x0 的 左導數(shù) ， 0( ).fx??左右導數(shù) 記作 00( ) ( ) .f x f x?????0()fx? 存 在 f (x)在 x0可導的充要條件是： f (x)在 x0 既左可導 又右可導，且 即 00( ) ( ) .f x f x????? 存 在0( ).fx??同樣可定義 右導數(shù) ： 導函數(shù)的概念 若函數(shù) y = f (x)在開區(qū)間 I內(nèi)每一點都可導，則稱 f (x)在 I 內(nèi)可導 . 此時對 ,xI?? 有導數(shù) ()fx? 與之 對應，從而在 I內(nèi)確定了一個新的函數(shù)，稱為 y = f (x)的 導函數(shù) ，簡稱導數(shù)，記為 ()fx? ， dydx， ().d f xdx.)()(lim)(39。)(39。 ( ) 39。()()1( xfxxfy ??? ??求增量。 ?求常值函數(shù) c 的導數(shù) . 所以 ? ? 020yxx? ????常值函數(shù) y = f (x) = c 證明： 例 2 001( ) l im l imx x x xxxxxa a aaaxx? ? ?? ? ? ???? ????由導數(shù)定義得 證明 ( ) l nxxa a a? ? (a 0, a≠1為常數(shù)） 即 ( ) l nxxa a a? ?1001l im l iml o g ( 1 )l o g ( 1 )xxtta tataatt??????xx?（ e ） =e1 lnl o gxxaa a ae??1xat? ??例 3 證明： nn xxxy ????? )(1 2 2( 1 ) ( ) ( ) ,2n n nnnn x x x x x?? ?? ? ? ? ? ? ?1 2 100( 1 )l im l im ( ) ( )2n n nxxy n nn x x x xx? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ???? ??.1?? nnx1( ) 39。 ( 0 )x x x R?? ???? ? ?，證明 1( ) 39。xxxxf，39。 0 ?? ??? ???? xxf x，10s i nlim)0(39。 即 曲線 y =f (x) 切線方程為 法線方程為 ).)(( 000 xxxfyy ????).()(1 000 xxxfyy ?????11 ( , 2) 2, . yx?求 等 邊 雙 曲 線 在 點 處 的 切 線 的斜 率 并 寫 出 在 該 點 處 的 切 線 方 程 和 法 線 方 程例 5 由導數(shù)的幾何意義 , 得切線斜率為 21??? xyk 121xx ????? ???? 2121???xx.4??切線方程為 法線方程為 12 4 ,2yx??? ? ? ?????112,42yx??? ? ?????.044 ??? yx即.01582 ??? yx即解： 證明： 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系 0000( ) ( )l im ( )xxf x f x fxxx?? ??? ，000000( ) ( )l im [ ( ) ( ) ] l im ( )x x x xf x f xf x f x x xxx???? ? ? ??000000( ) ( )l im l im ( ) ( ) 0 0 .x x x xf x f x x x f xxx??? ?? ? ? ? ? ??（ 1）若 f (x)在 x0點可導，則它在 x0點必連續(xù) . f (x)在 x0點可導，則 則有 所以 f (x)在 x0點連續(xù) . 反例： ，1lim)0(39。)0(39。 ( 0 ) l im 1xxfx?? ????? ? ??所以 f (x) 在 x0點不可導 . 導數(shù)的概念 小結 兩個實例 導數(shù)的定義 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系 導數(shù)的幾何意義 變速直線運動的 瞬時 速度 ? ? 000 00 ( ) ( )l im l imtt s s t t tvt tt? ? ? ?? ? ? ??? ??曲線的切線斜率 0000( ) (ta n l im l imxxf x x f xyxx? ? ? ? ?? ? ??????）導數(shù)的本質 兩個實例 物理意義 幾何意義 定義 21 0000( ) ( )l i m l i mxxf x x f xyxx? ? ? ?? ? ?? ???039。)(39。()()1( xfxxfy ??? ??求增量。 0 .c ? 1( ) 39。 即 曲線 y =f (x) 切線方程為 法線方程為 ).)(( 000 xxxfyy ????).()(1 000 xxxfyy ????? 導數(shù)的幾何意義 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系 （ 1）若 f (x)在 x0點可導，則它在 x0點必連續(xù) . （ 在（ 2）若 f (x)在 x0點連續(xù)，則它在 x0點不一定可導 . P58 習題 2 1 , 3 作 業(yè) 函數(shù) 四則運算的求導法則 反函數(shù)的求導法則 隱函數(shù)的求導法 幾個基本初等函數(shù)的導數(shù) 復合函數(shù)的求導法則 對數(shù)求導法 高階導數(shù) 基本初等函數(shù)的求導公式 初等函數(shù)的導數(shù)與求導法則 例 1 解： ( ) ( ) 0 ,y f x x f x c c? ? ? ? ? ? ? ?.0l i m0?????? xydxdyx( ) 39。 .nnx nx ??由二項式定理 ).0()39。nnx nx n?? ，為正整數(shù) . nyx? ，令 則 因此 即 ( ) l nxxa a a? ? xx?（ e ） =e( ) 39。 ( 0 )x x x R?? ???? ? ?，例 4 )( s i n,s i n)( ?? xxxf 求若函數(shù)解 hxhxxxfhs i n)s i n (l i m)( s i n)(0???????22si n)2cos(lim0 hhhxh???? .cos x?( sin ) c o sxx? ? ( c o s ) s inxx? ??例 5 .)1,0(l o g 的導數(shù)求函數(shù) ??? aaxy a解 hxhxy aahl og)(l oglim0?????1( l o g ) l o gaaxex? ?xxhxhah1)1(l o gl i m0????hxah xhx )1(l o gl i m10???1 lo ga ex?1( ln )xx? ?定理 并且可導處也在點分母不為零們的和、差、積、商則它處可導在點如果函數(shù),)(,)(),(x 函數(shù)四則運算 的求導法則 ? ?2( 1 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) 。( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 3 ) ( ) 0 .( ) ( )u x v x u x v xu x v x u x v x u x v xu x u x v x u x v xvxv x v x? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?????? ???????推論 11( 1 ) ( ) ( ) 。C f x C f x? ??? ?121121212( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )+( ) ( ) ( )nininnnf x f x f x f xf x f x f xf x f x f xf x f x f x???? ?????????????例 1 .s i n2 23 的導數(shù)求 xxxy ???解 23 xy ?? x4?例 2 .ln2s i n 的導數(shù)求 xxy ??解 xxxy lnc o ss i n2 ????xxxy lnc o sc o s2 ???? xxx ln)s i n(s i n2 ????xxx1coss i n2 ???.cos x?.2s i n1ln2c o s2 xxxx ??例 3 .t a n 的導數(shù)求 xy ?解 sin( ta n ) c o s xyx x??????? ????xxxxx2c os)(c ossi nc os)(s i n ????xxx222co ssi nco s ?? xx22 secco s1 ??2( ta n ) s e c .xx? ?.c s c)( c o t 2 xx ???同理可得 例 4 .s e c 的導數(shù)求 xy ?解 1( se c )c o syx x??????? ????xx2co s)(c o