【正文】 x.性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面 即b242。af(x)dx177。0i=1bl174。lim229。0i=1nnn=lim229。[f(xi)177。a[f(x)177。242。g(x)]dx=242。bf(x)dx.bbbab性質(zhì)1函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即242。af(x)dx=0.242。1180。0(1x)dx. 解: 函數(shù)y=1x在區(qū)間[0, 1]上的定積分是以y=1x為曲邊, 以區(qū)間[0, 1]為底的曲邊梯形的面積. 因?yàn)橐詙=1x為曲邊, 以區(qū)間[0, 1]為底的曲邊梯形是一直角三角形, 其底邊長(zhǎng)及高均為1, 所以 1天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分 242。165。0i=11(1+1)(2+1)=1. 229。, 所以 n242。0時(shí), n174。(i)21ni=1nnn1=i2=131n(n+1)(2n+1)=1(1+1)(2+1).3229。f(xi)Dxi=229。0i=1nnb當(dāng)f(x)既取得正值又取得負(fù)值時(shí), 函數(shù)f(x)的圖形某些部分在x軸的上方, 而其它部分在x軸的下方. 如果我們對(duì)面積賦以正負(fù)號(hào), 在x軸上方的圖形面積賦以正號(hào), 在x軸下方的圖形面積賦以負(fù)號(hào), 則在一般情形下, 定積分242。a[f(x)]dx.l174。f(xi)Dxi=lim229。b242。 當(dāng)f(x)163。0時(shí), 積分242。af(u)du.(2)和229。af(x)dx=242。f(xi)Dxi.l174。baf(x)dx,242。af(x)dx.變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程為S=242。f(x)Dxii=1ni.記l=max{Dx1, Dx2, , Dxn}, 如果當(dāng)l174。0i=1bnb其中f(x)叫做被積函數(shù), f(x)dx叫做被積表達(dá)式, x叫做積分變量, a 叫做積分下限, b 叫做積分上限, [a, b]叫做積分區(qū)間.定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a, b]上有界, 用分點(diǎn)a=x0x1x2 xn1xn=b把[a, b]分成n個(gè)小區(qū)間: [x0, x1], [x1, x2], , [xn1, xn] , 記Dxi=xixi1(i=1, 2, , n).任x i206。f(xi)Dxi. 242。0時(shí), 和S 總趨于確定的極限I, 這時(shí)我們稱(chēng)這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, b]上的定積分, 記作242。v(t)Dt. iii=1二、定積分定義拋開(kāi)上述問(wèn)題的具體意義, 抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括, 就抽象出下述定積分的定義.定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a, b]上有界, 在[a, b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a =x0 x1 x2 xn1 xn=b,把區(qū)間[a, b]分成n個(gè)小區(qū)間[x0, x1], [x1, x2], , [xn1, xn] ,各小段區(qū)間的長(zhǎng)依次為Dx1=x1x0, Dx2=x2x1, , Dxn =xn xn1.在每個(gè)小區(qū)間[xi1, xi]上任取一個(gè)點(diǎn)x i(xi1 x i xi), 作函數(shù)值f(x i)與小區(qū)間長(zhǎng)度Dxi的乘積天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分f(x i) Dxi(i=1, 2, , n), 并作出和S=229。v(t)Dtii=1nni.(3)記l=max{Dt1, Dt2, , Dtn}, 所求路程的精確值為S=liml174。 所求路程S 的近似值為S187。0, 計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程S .(1)用分點(diǎn)T1=t0t1t2 t n1tn=T2把時(shí)間間隔[T 1 , T 2]分成n個(gè)小時(shí)間 段: [t0, t1], [t1, t2], , [tn1, tn] , 記Dti =titi1(i=1, 2, , n).(2)任取ti206。0229。229。[xi1, xi], 以[xi1, xi]為底的小曲邊梯形的面積可近似為天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分f(xi)Dxi(i=1, 2, , n)。v(ti)Dti.l174。i=1n求精確值:記l = max{Dt 1, Dt 2, , Dt n}, 當(dāng)l174。229。0i=1n2. 變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)物體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng), 已知速度v=v(t)是時(shí)間間隔[T 1, T 2]上t的連續(xù)函數(shù), 且v(t)179。0. 所以曲邊梯形的面積為A=lim229。f(x 1)Dx1+ f(x 2)Dx2+ + f(x n)Dxn=229。167。教學(xué)難點(diǎn)：定積分的概念積分中值定理定積分的換元積分法分部積分法。教學(xué)重點(diǎn)：定積分的性質(zhì)及定積分中值定理定積分的換元積分法與分部積分法。理解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓—萊布尼茨公式。dyd2y的一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)2dxdx解 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)dy=tanq dxd2y1sec4qcscq 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)2=3adxIII 課外作業(yè)：P1249（1）11 12 15第二篇：同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分第五章定積分教學(xué)目的：理解定積分的概念。238。x=acosq,例5 求函數(shù)237。01不存在 x函數(shù)f(x)在x=0處不可導(dǎo) 函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，不可導(dǎo)3236。0x174。(0)=limx174。01=0=f(0)x函數(shù)xsin又有 1在x185。238。0,例4 討論函數(shù)f(x)=237。239。(x)=a(Qf162。0xyyxxf162。(1)y174。0y174。(0,+165。(1)=a(185。(0)= 設(shè)f(x)在(0,+165。(a)=2bj162。0bx=bj162。0xj(a+bx)j(a)=limb+x174。0x174。(0)解 知f(0)=j(a)j(a)=0因?yàn)橹徽f(shuō)明的j(x)在x=a處可導(dǎo)，沒(méi)說(shuō)明的j(x)在x=0處是否可導(dǎo)，解f162。02hf(a)f(ah)（D）limh174。hf(a+2h)f(a+h)（B）limh174。 典型方法與例題: 例1 設(shè) f(x)在x=a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則f(x)在x=a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是（）1h174。第一篇：高等數(shù)學(xué)教案Word版(同濟(jì))第二章8習(xí)題課I 教學(xué)目的與要求：，會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義解決函數(shù)的可導(dǎo)性。熟練掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法。+165。0hf(a+h)f(ah)（C）limh174。0h（A）limh[f(a+)f(a)]分析（D）例2 設(shè)f(x)=j(a+bx)j(abx)，其中的j(x)在x=a處可導(dǎo)，求f162。(0)時(shí)必須用導(dǎo)數(shù)的定義f(x)f(0)j(a+bx)j(abx)=limx174。0x0x0[j(a+bx)j(a)][j(abx)j(a)]=limx174。0bxj(abx)j(a)limbx174。(a)+bj162。(a)f162。)的上有定義，且f162。0)，又x,y206。)，有f(xy)=f(x)+f(y)，解f(x)解在f(xy)=f(x)+f(y)讓y=1，得f(x)=f(x)+f(1)f(1)=0f(x+xy)f(x)f(x)+f(1+y)f(x)=limy174。0xyxyf(1+y)f(1+y)f(1)11=lim=lim=f162。0y174。(x)=lim即f162。(1)=a)xf(x)=alnx+C讓x=1，得f(1)=aln1+C因此 f(x)=alnx復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，從處層到里層一層一層地求導(dǎo)，既不重復(fù)，又不遺漏1236。xsin,x185。 x239。0,x=0在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性解 知 limxsinx174。0的處連續(xù)的 xf162。0f(x)f(0)x0 1xsin01x=lim=limsinx174。0xx而 limsinx174。239。 3239。y=asinq。掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法。了解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分。牛頓—萊布尼茨公式。變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5. 1 定積分概念與性質(zhì)一、定積分問(wèn)題舉例1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形: 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a, b]上非負(fù)、連續(xù). 由直線(xiàn)x=a、x=b、y=0及曲線(xiàn)y=f(x)所圍成的圖形稱(chēng)為曲邊梯形, 其中曲線(xiàn)弧稱(chēng)為曲邊.求曲邊梯形的面積的近似值:將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形, 每個(gè)小曲邊梯形都用一個(gè)等寬的小矩形代替, 每個(gè)小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積, 則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值. 具體方法是: 在區(qū)間[a, b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a=x0 x1 x2 xn1 xn =b,把[a, b]分成n個(gè)小區(qū)間[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], , [xn1, xn ],它們的長(zhǎng)度依次為Dx1= x1x0 , Dx2= x2x1 , , Dxn = xn xn1 .經(jīng)過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于y 軸的直線(xiàn)段, 把曲邊梯形分成n個(gè)窄曲邊梯形. 在每個(gè)小區(qū)間 [xi1, xi ]上任取一點(diǎn)x i , 以[xi1, xi ]為底、f(x i)為高的窄矩形近似替代第i個(gè)窄曲邊梯形(i=1, 2, , n), 把這樣得到的n個(gè)窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值, 即A187。f(xi)Dxi.i=1n求曲邊梯形的面積的精確值:顯然, 分點(diǎn)越多、每個(gè)小曲邊梯形越窄, 所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分形面積A的精確值, 因此, 要求曲邊梯形面積A的精確值, 只需無(wú)限地增加分點(diǎn), 使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零. 記l=max{Dx1, Dx2, , Dxn }, 于是, 上述增加分點(diǎn), 使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零, 相當(dāng)于令l174。f(xi)Dxi.l174。0, 計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程S .求近似路程:我們把時(shí)間間隔[T 1, T 2]分成n 個(gè)小的時(shí)間間隔Dti , 在每個(gè)小的時(shí)間間隔Dti內(nèi), 物體運(yùn)動(dòng)看成是均速的, 其速度近似為物體在時(shí)間間隔Dti內(nèi)某點(diǎn)x i的速度v(t i), 物體在時(shí)間間隔Dti內(nèi) 運(yùn)動(dòng)的距離近似為DSi= v(t i) Dti . 把物體在每一小的時(shí)間間隔Dti內(nèi) 運(yùn)動(dòng)的距離加起來(lái)作為物體在時(shí)間間隔[T 1 , T 2]內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程S 的近似值. 具體做法是:在時(shí)間間隔[T 1 , T 2]內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)T 1=t 0 t 1 t 2 t n1 t n=T 2,把[T 1 , T 2]分成n個(gè)小段[t 0, t 1], [t 1, t 2], , [t n1, t n] ,各小段時(shí)間的長(zhǎng)依次為Dt 1=t 1t 0, Dt 2=t 2t 1, , Dt n =t n t n1.相應(yīng)地, 在各段時(shí)間內(nèi)物體經(jīng)過(guò)的路程依次為DS 1, DS 2, , DS n.在時(shí)間間隔[t i1, t i]上任取一個(gè)時(shí)刻t i(t i1t i t i), 以t i時(shí)刻的速度v(t i)來(lái)代替[t i1, t i]上各個(gè)時(shí)刻的速度, 得到部分路程DS i的近似值, 即DS i= v(t i) Dt i(i=1, 2, , n).于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)路程S 的近似值, 即S187。v(ti)Dti。0時(shí), 取上述和式的極限, 即得變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程S=lim229。0i=1n設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a, b]上非負(fù)、連續(xù). 求直線(xiàn)x=a、x=b、y=0 及曲線(xiàn)y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積.(1)用分點(diǎn)a=x0x1x2 xn1xn =b把區(qū)間[a, b]分成n個(gè)小區(qū)間:[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], , [xn1, xn ], 記Dxi=xixi1(i=1, 2, , n).(2)任取x i206。 所求曲邊梯形面積A的近似值為A187。f(x)Dx. iii=1nn(3)記l=max{Dx1, Dx2, , Dxn }, 所以曲邊梯形面積的精確值為A=liml174。f(x)Dx. iii=1設(shè)物體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng), 已知速度v=v(t)是時(shí)間間隔[T 1, T 2]上t的連續(xù)函數(shù),且v(t)179。[ti1, ti], 在時(shí)間段[ti1, ti]內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程可近似為v(ti)Dti(i=1, 2, , n)。229。0229。f(xi)Dxi.i=1n記l = max{Dx1, Dx2, , Dxn}, 如果不論對(duì)[a, b]怎樣分法, 也不論在小區(qū)間[xi1, xi]上點(diǎn)x i 怎樣取法, 只要當(dāng)l174。af(x)dx,即lim229。af(x)dx=l174。[xi1, xi](i=1, 2, , n), 作和S=229。0時(shí), 上述和式的極限存在, 且極限值與區(qū)間[a, b]的分法和x i的取法無(wú)關(guān), 則稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, b]上的定積分, 記作即根據(jù)定積分的定義, 曲邊梯形的面積為A=242。T2v(t)dt.1242。baf(x)dx=lim229。0i=1nbT說(shuō)明:(1)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān), 而與積分變量的記法無(wú)關(guān), 即242。af(t)dt=242。f(xi)Dxi通常稱(chēng)為f(x)的積分和.i=1nbbb(3)如果函數(shù)f(x)在[a, b]上的定積分存在, 我們就說(shuō)f(x)在區(qū)間[a, b]上可積.函數(shù)f(x)在[a, b]上滿(mǎn)足什么條件時(shí), f(x)在[a, b]上可積呢？定理1設(shè)f(x)在區(qū)間[a, b]上連續(xù), 則f(x)在[a, b]上可積.天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分定理2 設(shè)f(x)在區(qū)間[a, b]上有界, 且只有有限個(gè)間斷點(diǎn), 則f(x)在[a, b]上可積.定積分的幾何意義:在區(qū)間[a, b]上, 當(dāng)f(x)179。af(x)dx在幾何上表示由曲線(xiàn)y=f(x)、兩條直線(xiàn)x=a、x=b 與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。0時(shí), 由曲線(xiàn)y =f(x)、兩條直線(xiàn)x=a、x=b 與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方, 定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值。abf(x)dx=lim229。[f(xi)]Dxi=242。0i=1l174。af(x)dx的幾何意義為: 它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線(xiàn)x=a、x=b之間的各部分面積的代數(shù)和.b用定積分的定義計(jì)算定積分:.解把區(qū)間[0, 1]分成n等份, 分點(diǎn)為和小區(qū)間長(zhǎng)度為xi=i(i=1, 2, , n1), Dxi=1(i=1, 2, , n).nn取xi=i(i=1, 2, , n), 作積分和 n1229。i=1i=1nnxi2Dxi=229。ni=1n66nn因?yàn)閘=1, 當(dāng)l174。165。n12xdx=lim0l174。f(xi)Dxi=nlim174。6nn3利定積分的幾何意義求積分:例2. 用定積分的幾何意義求242。0(1x)dx=2180。1=2. 111三、定積分的性質(zhì)兩點(diǎn)規(guī)定:(1)當(dāng)a