【正文】 2lim xx ??又如 ， 22)(4 x 21?故 時(shí) 是關(guān)于 x 的二階無(wú)窮小 , xcos1? 221x～ 且 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 1. 證明 : 當(dāng) 時(shí) , ～ 證 : ～ ?? nn ba )( ba ? 1( ?na ba n 2?? )1??? nb?例 2. 證明 : 證 : 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因此 即有等價(jià)關(guān)系 : 說(shuō)明 : 上述證明過(guò)程也給出了等價(jià)關(guān)系 : 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ～ ～ 定理 1. )(??? o??證 : 1lim ???,0)1l i m ( ???? 0l i m ??? ??即 ,)(??? o?? 即 )(??? o??例如 , ,0 時(shí)?x ～ ,ta n xx～ 故 ,0 時(shí)?x )(ta n xoxx ??目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理 2 . 設(shè) 且 存在 , 則 ??lim證 : ??lim ?????? ?? ??l i m ???? ??????? lim ????lim???lim????? lim例如 , xxx 5si n 2ta nlim0? xxx 52lim0?? 52?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)對(duì)同一變化過(guò)程 , ? , ? 為無(wú)窮小 , 說(shuō)明 : 無(wú)窮小的性質(zhì) , (1) 和差取大規(guī)則 : 由等價(jià) 可得簡(jiǎn)化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則 . 若 ? = o(?) , (2) 和差代替規(guī)則 : ,~,~ 不等價(jià)與且若 ?????? ??,~ ???? ????則例如 , xx xx 3s i nlim 30 ?? xxx 3lim0?? 31???? ~?則.limlim ? ??? ?? ?????且！時(shí)此結(jié)論未必成立注意 ?? ~例如 , 11 s in2ta nli m 0 ?? ?? x xxx x xxx2102l i m ??? 2?(見下頁(yè)例 3) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (3) 因式代替規(guī)則 : 極限存在或有且若 )(,~ x???界 , 則 )(lim x?? )(lim x???例如 , .s i nt a nlim 30 xxxx??30lim xxxx???原式32210l i mxxxx???? 例 3. 求 01si nlim1si na rcs i nlim00?????? xxxxxx解 : 原式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 4. 求 .1c o s1)1(lim 3120 ???? xxx解 : 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 5. 證明 : 當(dāng) 時(shí) , 證 : 利用 和差代替與取大規(guī)則 說(shuō)明 )(~))(1l n ()1l n ( xxx ?????不等價(jià)與 )1l n ()1l n ( xx ??xx ~)1ln ( ?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 0??1. 無(wú)窮小的比較 設(shè) ? , ? 對(duì)同一自變量的變化過(guò)程為無(wú)窮小 , 且 ? 是 ? 的 高階 無(wú)窮小 ? 是 ? 的 低階 無(wú)窮小 ? 是 ? 的 同階 無(wú)窮小 ? 是 ? 的 等價(jià) 無(wú)窮小 ? 是 ? 的 k 階 無(wú)窮小 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 等價(jià)無(wú)窮小替換定理 思考與練習(xí) Th 2 P59 題 1 , 2 作業(yè) P59 3 。 5 (3) 常用等價(jià)無(wú)窮小 : 第八節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、 函數(shù)的間斷點(diǎn) 一、 函數(shù)連續(xù)性的定義 第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 第一章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 可見 , 函數(shù) 在點(diǎn) 0x一、 函數(shù)連續(xù)性的定義 定義 : 在 的某鄰域內(nèi)有定義 , 則稱函數(shù) .)( 0 連續(xù)在 xxf(1) 在點(diǎn) 即 (2) 極限 (3) 設(shè)函數(shù) 連續(xù)必須具備下列條件 : 存在 。 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 continue )()(lim,),( 000xPxPx xx ??????? ?若 在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上 連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的 連續(xù)函數(shù) . .],[ baC例如 , 在 上連續(xù) . ( 有理整函數(shù) ) 又如 , 有理分式函數(shù) 在其定義域內(nèi)連續(xù) . 在閉區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)的集合記作 只要 ,0)( 0 ?xQ 都有 )()(lim 00xRxRxx ??目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)自變量的增量 有 函數(shù)的增量 )( xfy ?xOy0x xx?y?)()(lim 00xfxfxx ?? )()(lim 000 xfxxfx ?????0l im 0 ???? yx)()()( 000 ?? ?? xfxfxf左連續(xù) 右連續(xù) ,0??? ,0???當(dāng) ????? xxx 0時(shí) , 有 ????? yxfxf )()( 0函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)有下列 等價(jià)命題 : 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 . 證明函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù) . 證 : ),( ?????? xxxxy s in)s in ( ?????)c o s (s i n2 22 xx xy ??? ??x?? 0??x即 這說(shuō)明 在 內(nèi)連續(xù) . 同樣可證 : 函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù) . 0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在 在 二、 函數(shù)的間斷點(diǎn) (1) 函數(shù) (2) 函數(shù) 不存在 。 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 間斷點(diǎn)分類 : 第一類間斷點(diǎn) : 及 均存在 , 若 稱 0x若 稱 0x第二類間斷點(diǎn) : 及 中至少一個(gè)不存在 , 稱 0x若其中有一個(gè)為振蕩 , 稱 0x若其中有一個(gè)為 ,?為 可去間斷點(diǎn) . 為 跳躍間斷點(diǎn) . 為 無(wú)窮間斷點(diǎn) . 為 振蕩間斷點(diǎn) . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2π?x 為其無(wú)窮間斷點(diǎn) . 0?x 為其振蕩間斷點(diǎn) . 1?x 為可去間斷點(diǎn) . 例如 : xy ta n?2?xyOxyxy1si n?Oxy1O目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1)1(1)(lim 1 fxfx ???顯然 1?x 為其可去間斷點(diǎn) . ???????1,1,)(21 xxxxfy(4) xOy211(5) ????????????0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11?,1)0( ???f 1)0( ??f0?x 為其跳躍間斷點(diǎn) . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 左連續(xù) 右連續(xù) 第一類間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn) 跳躍間斷點(diǎn) 左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn) 無(wú)窮間斷點(diǎn) 振蕩間斷點(diǎn) 左右極限至少有一個(gè)不存在 在點(diǎn) 間斷的類型 在點(diǎn) 連續(xù)的等價(jià)形式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí) 1. 討論函數(shù) x = 2 是第二類無(wú)窮間斷點(diǎn) . 間斷點(diǎn)的類型 . 2. 設(shè) 時(shí) 提示 : 3. P65 題 3 , *8 為 連續(xù)函數(shù) . 答案 : x = 1 是第一類可去間斷點(diǎn) , 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P65 題 *8 提示 : 作業(yè) P65 4 。 ,1 時(shí)當(dāng) ??x ?? xx1 ,?? 0)( ?? xf,1 時(shí)當(dāng) ??x ?? xx1 ,?? 1)( ?? xf故 1?x 為跳躍間斷點(diǎn) . ,1,0 處在 ?x .)( 連續(xù)xf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則 第九節(jié) 二、初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與 初等函數(shù)的連續(xù)性 第一章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理 2. 連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也連續(xù)單調(diào)遞增 . 在其定義域內(nèi)連續(xù) 一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則 定理 1. 在某點(diǎn)連續(xù)的 有限個(gè) 函數(shù)經(jīng) 有限次 和 , 差 , 積 , ( 利用極限的四則運(yùn)算法則證明 ) 商 (分母不為 0) 運(yùn)算 , 結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) . 例如 , 例如 , xy sin? 在 上連續(xù)單調(diào)遞增， 其反函數(shù) xy a rc s in?(遞減 ) (證明略 ) 在 [?1, 1]上也連續(xù)單調(diào) (遞減 )