【正文】 174。=13n165。1165。=13165。n都收斂，所以n=12n=13165。un(un179。數(shù)列{sn}: 設(shè)229。是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且un163。n=1165。un發(fā)散，=1n=: 設(shè)229。n=1165。kvn(k0)成立，=1165。N時(shí)有un163。而229。1n=1np發(fā)散.②當(dāng)p1時(shí)，對(duì)于級(jí)數(shù)1+1112p+3p+L+np+L 加括號(hào)后:高等數(shù)學(xué)教案1n，1111111+(p+p)+(p+p+p+p)+L234567它的各項(xiàng)均不大于級(jí)數(shù)1111111+(p+p)+(p+p+p+p22444411=1+p1+p1+L 24的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，而后一個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的幾何級(jí)數(shù)，所以級(jí)數(shù)高等數(shù)學(xué)教案1111111+(p+p)+(p+p+p+p)+L2345671收斂，=1n165。nn=1n22165。165。ln3n=13n=1nn=1n165。n=1n=1165。(an+bn)；③2n=1n=1165。an與229。(an+bn)收斂，而n=1165。an、2165。anbn均收斂，所以n=12165。an與229。2，n=1nnn165。165。證:由于229。以229。bn，所以165。0，而229。n==1165。165。165。)，則229。un=+165。n=1vn165。n1nn解:由于l=lim，而=1229。1發(fā)散，=1nn165。165。165。165。un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且n=1165。un收斂；n=1165。散；③若r=1，則229。165。所n174。10n!n10165。165。則229。()的n=13n1165。165。(1)un滿足條件: n1n=1165。則229。un+(1)n=1165。165。n11所以229。例如，級(jí)數(shù)229。而229。(1)n=1165。Vn179。Vn、229。均收斂，故229。n=1165。165。(1)是n+1n=1否收斂，若收斂是條件收斂，還165。(1)n=1165。1np11163。nsin收斂，故5n==12165。n165。n174。n=1，165。(1)ln(1+)發(fā)n=1nn=1n165。I，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)u1(x0)+u2(x0)+L+un(x0)+L165。n=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2n+L+an(xx0)+L:n=0229。則當(dāng)xx0x=x0(x0185。anx當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散，則當(dāng)nx=0165。R處的收斂性決定).規(guī)定冪級(jí)數(shù)僅在x=0處收斂時(shí)R=0，冪級(jí)數(shù)對(duì)一切x都收斂時(shí)R=+165。an高等數(shù)學(xué)教案236。r239。0 , r=+165。165。()nnn=1n=1發(fā)散.165。nnn=1n=1165。165。n1n高等數(shù)學(xué)教案321+(n+1)r=lim=3nn174。(1)nn1(3x)= =01+nn=01+n1當(dāng)時(shí)，x=3165。n1因此，229。(1)nn對(duì)于，229。165。165。2絕當(dāng)t=1時(shí)，n=1nn=1nn165。2(x3)n=1n的收斂域?yàn)閇2 , 4].165。1x2n+13n321令x1，得3x3，收3斂半徑為R=+11當(dāng)x=3時(shí)，229。2n+11當(dāng)x=3時(shí)，229。2n+11因此，229。nn=0165。165。nnn=0229。s(x)的收斂半徑為R=min{R , R162。anx的和函數(shù)s(x)在其收nn=0165。anxdxn=0xx(165。xann+1=229。nx與229。anx的和函數(shù)s(x)在其收nn=0165。nns162。(n=0)n=0 =229。n1與229。165。x=229。x的收斂域?yàn)閇1 , 1).n=1n165。165。x=229。()高等數(shù)學(xué)教案=229。(x)dx+s(0)=242。1xn+1=x229。(1 , 1): 令s(x)=229。242。x= 1x(1x1).高等數(shù)學(xué)教案2s(x)=[242。: 229。xnnnnn=1n=1n=1nn=1n165。=229。高等數(shù)學(xué)教案2xxx= 2(1x)1xx.(1 , 1)=2(1x)(n+2)x在其收斂區(qū)nn=1165。(n+1)x+229。 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)(x)在x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，冪級(jí)數(shù)162。f(xi)Dxi，A187。0i=1高等數(shù)學(xué)教案: 設(shè)速度v=v(t)是時(shí)間間隔[T1 , T2]上t的連續(xù)函數(shù)，路程記為s.①把區(qū)間[T1 , T2]分成n個(gè)小區(qū)間:，…，[t0 , t1] [tn1 , tn]，[t1 , t2]，s=Ds1+Ds2+L+Dsn，Dti=titi1(i=1 , 2 , L , n).②在每個(gè)小區(qū)間[ti1 , ti]上任取一點(diǎn)ti，Dsi187。v(ti)174。0i=1n存在，且此極限不依賴于對(duì)區(qū)間[a , b]的分法和在[xi1 , xi]上高等數(shù)學(xué)教案則稱此極限為f(x)xi點(diǎn)的取法，在[a , b]上的定積分，記為f(xi)(x)dx=liml174。 af(t)dt=242。0，則 b242。 af(x)dx=242。f(x)dx177。 af(x)dx.③ b c b242。1，則b b242。 af(x)dx179。242。 af(x) b⑥設(shè)m163。 af(x)dx163。M，bm(ba)163。 am163。 af(x)dx=f(x)(ba).b1稱為在f(x)dxf(x)242。 0f(x)dx+242。 0f(x)dx163。 0f(x)dx].(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)0，證明: 12 121242。(變上限高等數(shù)學(xué)教案積分): f(x)在[a , b]上連續(xù)，稱xF(x)=242。(x)=f(t)dt=f(x)242。sinx =lim2x174。xe2x174。+165。3.[242。 xedt)162。 af(t)dtF162。 af(t)dt都是f(x)的原函數(shù)，所以F(x)=F(x)+F(a)=F(a)+C，aF(a)=242。 1(x1)dx221xx=(x)0+(x)22=236。x , x206。242。 12dt+242。237。x3 =239。1高等數(shù)學(xué)教案 6 ,:2] x206。[1 , 2Fx f(x)=242。xtdt , x179。x , x0239。167。（其中f(x)連續(xù)，f(t)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，a=f(a)，b=f(b)，. 0 4x+2dx 2x+11t2+32 32t12 x= 242。 112+1 (1t)dt =2(t+lnt)112= 111x 2 x2dx x=sint 242。 p5 02cosxdcosx=(16p6cosx)20= 0x(2x)dx12421=242。 af(x)dx=242。 af(t)( 0 0=242。 af(x)dx=242。 af(x)dx= 242x+3x+1 2高等數(shù)學(xué)教案32xsinx解: 由于f(x)=42x+3x+132是 2奇3函2數(shù)，所以xsinxdx= 242x+3x+ 1sinx+(arctanx).dx242。 0 dx21+x 12=2242。 0f(x)dx 0 x=at 242。 0f(ax) 0 a(x)在[0 , 1]上連續(xù)，證明: 242。 p2 0=242。 02 p高等數(shù)學(xué)教案證: 242。 0f(sint。 p(pt)f(sint)p=242。f(cosx) 0(x)在[0 , 1]上連續(xù)，證明: 242。f(cosx) 0p 證: 242。 af(at)dt =242。 0f(x)dx=242。 1dx+dx242。 0f(x)dx=2242。 0f(t)dt =242。 0f(x)4高等數(shù)學(xué)教案242。 af(x)dx=2242。2 p cottdt4=242。 1(t+3)dt 2331t=(+3t)13高等數(shù)學(xué)教案例 例= 1dx 34 1x1 x=(t2+2t)242。 af(x)dx x=f(t)242。2x239。238。 , +165。[1 , 2x206。3239。238。[1 ,236。[0 , 1)238。 0f(t)dt在[0 , 2](x)=236。[0 , 1), f(x)=237。 af(x)dx=F(b)F(a)=F(x).ba高等數(shù)學(xué)教案證: 因1 2dx=lnx2x=ln1ln2 =例 2 1 01xdx=242。(x)=0，(xa)故F(x)在(a , b](牛頓—萊布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則b242。 axa在(a , b]: 當(dāng)x206。(x)f[f(x)]f162。+165。 x2 0t2elimx2tedt242。02xx1=.2 =lim xx174。 : F162。[a , b] (x)在[a , b]上連續(xù)，x則F(x)=242。 af(x)dx179。 0f(x)dx179。0高等數(shù)學(xué)教案，所以12D=4[242。 0[lf(x)]dx179。M，ba高等數(shù)學(xué)教案b故在[a , b]上至少存在一點(diǎn)x，使得b242。 af(x)dx163。 af(x)dx=f(x)(ba).證:由于f(x)在[a , b]上連續(xù)，所以存在最大值M和最小值m，使得m163。M，則bm(ba)163。 af(x)dx163。g(x)，則b b242。 adx= b b b a a a高等數(shù)學(xué)教案⑤如果在[a , b]上f(x)179。 af(x)dx+242。g(x) b②242。[f(x)177。 af(x):高等數(shù)學(xué)教案①當(dāng)a=b時(shí)，242。0，則b242。 af(x)dx只與被積函數(shù)f(x)﹑積分區(qū)間[a , b]有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)，即b242。f(xi)=1n③l=max{Dx1 , Dx2 , L , Dxn}.如果lim229。229。f(xi)=1n③l=max{Dx1 , Dx2 , L , Dxn}.A=lim229。(x0)f2f(x0)+f162。165。nn=12229。xn=1n=1165。165。nx+229。xx=()162。x=229。242。1xn=x[ln(1x)] n=1nn=1n高等數(shù)學(xué)教案: 域[ =xln(1x)x206。x1).165。1=(1x1).1xs(x)=242。n=1nn=1n165。nn11s162。x(1163。x=n=1nn=1n165。165。=1n165。229。anx=229。165。n=0n=0n+1同.165。In=0n+1165。242。0s(x)dx=242。anx的和函數(shù)s(x)在其收nn=0165。(an177。229。bnx的收斂半徑分別為R和R162。: s(x)=229。3發(fā)n=03n=0165。3n=03n=0165。nn高等數(shù)學(xué)教案1x2(n+1)+1n+1213=x解: 174。2t的收斂n=1nn165。(1)229。2t=229。165。: 令x3=t，則(1)(1)nn229。n11229。321+nn+1，1R=.31當(dāng)時(shí)，x=3165。2(3x)= =01+nn=01+n165。的收nn=1斂域?yàn)?1 , 1].165。(1)n1當(dāng)x=1時(shí)，229。n1nr高等數(shù)學(xué)教案(1)x1當(dāng)x=1時(shí)，229。238。+165。0且r185。an+1lim=r，則 n174。anx不是僅在x=0一點(diǎn)收斂，n165。165。na0+a1x+a2x+L+anx+: 如果229。un(x)，.(xx0)的冪級(jí)數(shù): n=0229。(1)ln(1+)=1n167。1n而229。1nnn1n=limln(1+)n174。(1)ln(1+)=1n由于高等數(shù)學(xué)教案1(1)ln(1+)1 nlim=limnln(1+)n174。: 由于ln(1+)ln(1+)，而n+1n1limln(1+)=0，所以交錯(cuò)級(jí)數(shù)n174。n522n=121(是公比為q=1的幾何級(jí)數(shù))2165。0，所n++1165。165。un發(fā)散，=1n=1165。165。un也收n=1n=1165。165。Wn179。n=，=1165。165。n11絕對(duì)收: 如果229。un收斂，n=1165。165。即un179。u1，其余n1n=1165。un+1；i165。()=: 165。165。散；③若r=1，則229。un收斂；n=1165。un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且n=1nu=174。n174。=1(n1)!165。n=1(n1)!165。則229。165。發(fā)散，所以229。165。lnn1n=2nn=2n(21)的斂散nn=1165。165。165。n=1nn165。vn發(fā)散，③若limn174。165。165。un=0，且229。un、229。(an)收斂，而229。bnan179。由于an163。bn均收斂，所n=1n=1165。163。165。11an以229。229。229。2anbn，=1165。165。=1n165。收斂，則下列級(jí)數(shù)也收斂.①229。ln3n=1n165。lnn=229。=13165。1111解: 由于lnn179。1發(fā)散，所以165。1111+p+p+L+p+L : ①當(dāng)p163。un發(fā)散，且存在自然數(shù)n=1165。vn收斂，且存在自然數(shù)N，使當(dāng)n179。229。165。vn收斂，則229。vn都n=1n=1165。n=1165。(n+n)=123167。1由于229。n收斂；由于級(jí)數(shù)229。n是公比為n=124225165。②.由于調(diào)和級(jí)數(shù)229。165。165。③在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性.④如果229。165。②如果229。un發(fā)散，n=1165。un收斂和為s，則229。165。n+1例2判斷級(jí)數(shù)229。n174。③q=1時(shí)，sn=na，limn174。165。165。n2n1: (幾何級(jí)數(shù))n=0+L(a185。.a242。a解 當(dāng)q=1時(shí),當(dāng)q1時(shí), bbbdx的斂散性.(xa)qdx=bdx=[ln(xa)] b=+165。,1xxx174。112dx的收斂性.x解 函數(shù)12在區(qū)間[1, 1]上除x=0外連續(xù), 且lim12=165。aa01dx.2ax21=+165。cf(x)dx=[xlim174。af(x)dx=[F(x)]bF(x)F(a).a=limx174。bb當(dāng)a為瑕點(diǎn)時(shí),242。a可采用如下簡(jiǎn)記形式:a=F(b)limF(x).242。174。cabtf(x)dx+limf(x)dx.+242。bbt函數(shù)f(x)在[a, c)200。at+bbf(x)dx.在反常積分的定義式中, 如果極限存在, 則稱此反常積分收斂。af(x)dx發(fā)散.瑕點(diǎn): 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無(wú)界, 那么點(diǎn)a稱為函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn), 也稱為無(wú)界定義2162。af(x