【正文】 a b)(xfy ?1x 2x 3x 4x 5x 6x0000( ) ( , ) , ( , ) , ( ) ( ) ,( ) ( )f x a b x a bxx f x f xf x f x?設 在 內(nèi) 有 定 義 是 內(nèi) 一 點如 果 存 在 著 點 的 一 個 去 心 的 鄰 域對 于 這 鄰 域 內(nèi) 的 任 何 點 均 成 立就 稱 是 函 數(shù) 的 一 個 極 大 值 .定義 23 o xyo xy0x 0x000, ( ) ( ) ,( ) ( ) .xx f x f xf x f x?如 果 存 在 著 點 的 一 個 的 去 心 鄰 域對 于 這 鄰 域 內(nèi) 的 任 何 點 均 成 立就 稱 是 函 數(shù) 的 一 個 極 小 值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為 極值 ,使函數(shù)取得極值的點稱為 極值點 函數(shù)極值的求法 設 )( xf 在點 0x 處具有導數(shù) ,且在 0x 處取得極值 , 那末必定 0( ) 0fx? ? . 定理 211(必要條件 ) 定義 ( ( ) 0 )( ) .fxfx? ?使 導 數(shù) 為 零 的 點 即 方 程 的 實 根叫 做 函 數(shù) 的 駐 點注意 : .,)(是極值點但函數(shù)的駐點卻不一定點的極值點必定是它的駐可導函數(shù) xf例如 , ,3xy ? ,00 ?? ?xy .0 不是極值點但 ?x( 1 ) 如果 ),(00xxx ??? 有 ( ) 0 。fx? ? 而 ),(00??? xxx 有 ( ) 0fx? ? ，則 )( xf 在 0x 處取得極大值 . ( 2 ) 如果 ),(00xxx ??? 有 ( ) 0 。fx? ? 而 ),(00??? xxx 有 ( ) 0fx? ? ，則 )( xf 在0x 處取得極小值 . ( 3 ) 如果當 ),(00xxx ??? 及 ),(00??? xxx 時 , ()fx? 符號相同 , 則 )( xf 在0x 處無極值 . 定理 212(第一充分條件 ) xyo xyo0x 0x? ? ? ? 極小值 極大值 xyo xyo0x 0x????注意 :函數(shù)的不可導點 ,也可能是函數(shù)的極值點。 不是極值點情形 函數(shù)的駐點和不可導點 ,統(tǒng)稱為函數(shù)極值的 可疑點 。 求極值的步驟 : )。()1( xf ?求導數(shù)( 2 ) 。求 駐 點 和 導 數(shù) 不 存 在 的 點( 3 ) ( ) ,。fx?檢 查 在 可 疑 點 左 右 的 正 負 號判 斷 極 值 點.)4( 求極值極值的可疑點 例 1 解 .593)( 23 的極值求出函數(shù) ???? xxxxf963)( 2 ???? xxxf，令 0)( ?? xf .3,1 21 ??? xx得駐點 列表討論 x )1,( ??? ),3( ??)3,1(?1? 3)(xf?)(xf? ? ?0 0極大值 極小值 )3(f極小值 .22??)1( ?f極大值 ,10?)3)(1(3 ??? xx593)( 23 ???? xxxxfMm圖形如下 例 2 解 .)2(1)( 32的極值求出函數(shù) ??? xxf)2()2(32)( 31????? ? xxxf.)(,2 不存在時當 xfx ??時，當 2?x 。0)( ?? xf時，當 2?x .0)( ?? xf.)(1)2( 的極大值為 xff ??.)( 在該點連續(xù)但函數(shù) xfM定理 213 （極值的第二充分條件） 注 設 f (x)在 x0二階可導，且 00( ) 0 ( ) 0 .f x f x? ????，（ 1）若 0( ) 0fx?? ? ，則 f (x)在 x0取得極大值； （ 2）若 0( ) 0fx?? ? ，則 f (x)在 x0取得極小值 . 00( ) 0 ( ) 0f x f x? ????， ，若 則 x0是不是極值， 需要另行考慮 . 證 )1(0000)()(lim)(xxxfxfxfx ??????????,0?異號，與故 00 )()( xxxfxf ????時，當 0xx ? )()( 0xfxf ???有 ,0?,0?所以 , 函數(shù) )( xf 在 0x 處取得極大值時，當 0xx ? )()( 0xfxf ???有 xyo 0x? ?例 3 解 .20243)( 23 的極值求出函數(shù) ???? xxxxf2463)( 2 ???? xxxf，令 0)( ?? xf .2,4 21 ??? xx得駐點)2)(4(3 ??? xx,66)( ???? xxf????? )4(f? ,018 ?? )4( ?f故極大值 ,60???? )2(f ,018 ? )2(f故極小值 .48??20243)( 23 ???? xxxxf 圖形如下 Mm注意 : 00( ) 0 , ( ) ,2 1 2 .f x f x x?? ??時 在 點 處 不 一 定 取 極 值仍 用 定 理例 3 解： ( ) c o s c o s 3 .f x a x x? ??試問 a 為何值時，函數(shù) 1( ) sin sin 33f x a x x??在 處取得極值？它是極大值還是極小值？求此 3x ??極值 . 由假設知 ( ) 03f ?? ? ，由此可得 102a ?? ，即 a = 2. 又當 a = 2時， ( ) 2 s in 3 s in 3f x x x?? ? ? ? ，且 所以 f (x)在 3x ?? 處取得極大值， 且極大值 ( ) 3 .3f ? ?03)3( ????? ?f 小 結 洛必達法則 型00 ,1,0 ??型??? 型??0型00型?? gfgf 1?? fg fggf 11 11 ????取對數(shù)令 gfy ?一、拉格朗日 (Lagrange)中值定理 二、洛必達法則 (一 )單調(diào)性 定理 1 .],[)(0)(),()2(],[)(0)(),(1.),(],[)(上單調(diào)減少在那末函數(shù)，內(nèi)如果在上單調(diào)增加；在，那末函數(shù)內(nèi)如果在）（導內(nèi)可上連續(xù)，在在設函數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy???????三、函數(shù)的單調(diào)性和極值 單調(diào)區(qū)間求法 導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點． 方法 : .,)()(0)(數(shù)的符號然后判斷區(qū)間內(nèi)導的定義區(qū)間來劃分函數(shù)不存在的點的根及用方程xfxfxf ???( 1 ) 如果 ),(00xxx ??? 有 。0)(39。?xf 而 ),(00??? xxx 有 0)(39。?xf ，則 )( xf 在 0x 處取得極大值 . ( 2 ) 如果 ),(00xxx ??? 有 。0)(39。?xf 而 ),(00??? xxx 有 0)(39。?xf ，則 )( xf 在0x 處取得極小值 . ( 3 ) 如果當 ),(00xxx ??? 及 ),(00??? xxx 時 , )(39。xf 符號相同 , 則 )( xf 在0x 處無極值 . 定理 2(第一充分條件 ) 設 )( xf 在 0x 處具有二階導數(shù) , 且 0)( 039。 ?xf , 0)( 039。39。 ?xf , 那末 ( 1 ) 當 0)( 039。39。 ?xf 時 , 函數(shù) )( xf 在 0x 處取得極大值 。 ( 2 ) 當 0)( 039。39。 ?xf 時 , 函數(shù) )( xf 在 0x 處取得極小值 . 定理 3(第二充分條件 ) 求極值的步驟 : )。()1( xf ?求導數(shù)( 2 ) 。求 駐 點 和 導 數(shù) 不 存 在 的 點( 3 ) ( ) ,。fx?檢 查 在 可 疑 點 左 右 的 正 負 號判 斷 極 值 點.)4( 求極值極值的可疑點 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值的步驟 : ( 1 ) ( ) 。fx?求 函 數(shù) 的 定 義 域 和 導 數(shù)? ?2。求 駐 點 和 導 數(shù) 不 存 在 的 點( 4) ( ) ,。fx?根 據(jù) 在 可 疑 點 左 右 的 正 負 號判 斷 單 調(diào) 區(qū) 間 和 極 值極值的可疑點 ? ? ( ) ,.fx3 用 可 疑 點 劃 分 函 數(shù) 的 定 義 區(qū) 間然 后 判 斷 區(qū) 間 內(nèi) 導 數(shù) 的 符 號P58 習題 2 10 (1) (2) (5) (7) (8) 11 12(2) (4) 13 作 業(yè) 導數(shù)的概念 初等函數(shù)的導數(shù)與求導法則 函數(shù)的微分及其應用 中值定理與 導數(shù)的應用 第 2章 導數(shù)與微分 ()dy fxdx ?? 中值定理與導數(shù)的應用 一、拉格朗日 (Lagrange)中值定理 二、洛必達法則 三、函數(shù)的單調(diào)性和極值 五、 函數(shù)曲線的凹凸性與拐點 七 、函數(shù)圖形的描繪 六、 函數(shù)曲線的漸近線 四、 函數(shù)的最大值與最小值 ( 1 ) , ( ) ( ) 。( 2) ( ) ,( ) ( ) ( ) 0 。()( 3 ) l im ( ) 。()( ) ( )l im l im .( ) ( )xax a x ax a f x g xaaf x g x g xfxgxf x f xg x g x????? ? ? ???????當 時 函 數(shù) 及 都 趨 于 零在 點 的 某 領 域 內(nèi) 點 本 身 可 以 除 外及 都 存 在 且存 在 或 為 無 窮 大那 末定理 29(洛必達法則 )設 滿足 ,.( ) ( ).xf x g x??注 1 ： 當 時 該 法 則 仍 然 成 立當 及 都 趨 于 無 窮 大 時 ，該 法 則 仍注 ：然 成 立2)(),( xgxf型00型??洛必達法則 型00 ,1,0 ??型??? 型??0型00型?? gfgf 1?? fg fggf 11 11 ????取對數(shù)令 gfy ?(一 )單調(diào)性的判別法 定理 210 .],[)(0)(),()2(],[)(0)(),(1.),(],[)(上單調(diào)減少在那末函數(shù)，內(nèi)如果在上單調(diào)增加；在，那末函數(shù)內(nèi)如果在）（導內(nèi)可上連續(xù)，在在設函數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy???????三、函數(shù)的單調(diào)性和極值 （二）單調(diào)區(qū)間求法 導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點． 方法 : .,)()(0)(數(shù)的符號然后判斷區(qū)間內(nèi)導的定義區(qū)間來劃分函數(shù)不存在的點的根及用方程xfxfxf ???? ?? ?00000( ) ( , ) , ( , ), , ( ) ( )( ) ( ) , ( )()f x a b x a bxx f x f xf x f x f xfx??設 在 區(qū) 間 內(nèi) 有 定 義 是 內(nèi)一 點 如 果 存 在 著 點 的 一 個 去 心 的 鄰域 對 于 這 鄰 域 內(nèi) 的 任 何 點均 成 立 就 稱 是 函 數(shù)的 一 個 極 大 小 值 .定義 23 （三）函數(shù)極值的定義 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為 極值 ,使函數(shù)取得極值的點稱為 極值點 . （四）函數(shù)極值的求法 設 )( xf 在點 0x 處具有導數(shù) , 且在 0x 處取得極值 , 那末必定 0)( 039。 ?xf . 定理 211 (必要條件 ) 定義 ( ( ) 0 )( ) .fxfx? ?使 導 數(shù) 為 零 的 點 即 方 程 的 實 根叫 做 函 數(shù) 的 駐 點( 1 ) 如果 ),(00xxx ??? 有 。0)(39。?xf 而 ),(00??? xxx 有 0)(39。?xf ，則 )( xf 在 0x 處取得極大值 . ( 2 ) 如果 ),(00xxx ??? 有 。0)(39。?xf 而 ),(00??? xxx 有 0)(39。?xf ，則 )( xf 在0x 處取得極小值 . ( 3 ) 如果當 ),(00xxx ??? 及 ),(00??? xxx 時 , )(