【正文】 分條件 : ? 定理 3 設(shè) f(x)在駐點(diǎn) x0處二階可導(dǎo) , 且 f ??(x0)≠ 0. 若 f ??(x0) 0,則 f(x)在點(diǎn) x0處取得極大值 。 若 f ??(x0) 0,則 f(x)在點(diǎn) x0處取得極小值 . 00 )()(l i m0 xxxfxfxx ??????0)(lim0 xxxfxx ???,0)(0??? xx xf證明 : 對(duì)于 f ??(x0)0的情形 : 故當(dāng) δ=|x?x0|充分小且 x≠ x0時(shí) , 有 因?yàn)? = f ??(x0) 0, 于是 x? (x0 ?δ, x0)時(shí) , f ?(x)0, 而 x? (x0, x0+δ)時(shí) , f ?(x)0, 由第一充分條件知 f(x)在點(diǎn) x0處取得極小值 . ? 在 x = 1處取得極小值 2. ????????0100xxxx32)(xxf ???3. 應(yīng)用舉例 (1) 對(duì)于 f(x) = 有 (x≠ 0) , 故 f ??(?1)= ?2 0, f ??(1)=2 0. 因此 f(x)在 x = ?1處取得極大值 ?2, D(f ) (?∞ , ?1) ?1 (?1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞ ) f ?(x) + 0 ? 不存在 ? 0 + f(x) ↗ ?2 ↘ ↘ 2 ↗ f ??(x) ? 不存在 + ? ??????1)2(134xxxx?????????1)2(314)(23xxxxxf(2) 求 f(x) = 的極值 . 解 : f ?(1)不存在 . 由 f ?(x) = 0得 x = 0或 2. 當(dāng) x 0時(shí) , f ?(x)0, 當(dāng) x? (0, 1)時(shí) , f ?(x)0. 故 f(x)在 x = 0處取得極小值 f(0) = 0. 當(dāng) x? (1, 2)時(shí) , f ?(x)0, 故 f(x)在 x = 1處取得極大值 f(1) = 1. 當(dāng) x? (2, +∞ )時(shí) , f ?(x)0, 故 x =2不是 f(x)的極值點(diǎn) . ? f ??(0)= 0 = f ??(2), 不能用第二充分條件 . ?????????1)2(6112)( 2xxxxxf注 ④ 這里 ? 三 函數(shù)的最大 (小 )值 求最大 (小 )值的一般步驟 理論基礎(chǔ) :在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得最大值和最小值 . 判斷有無(wú)最值 ↓ 求可能的極值 ↓ 計(jì)算 端點(diǎn)值 ↓ 經(jīng)比較得最值 最小值為 f(3) = ? 1. ???????]3,1()2(]1,1[34xxxx例 1 求 f(x) = 的最值 . 解 : f(x)? C[?1, 3], 故有最大值與最小值 . 由上例可知 f(x) 在 x = 0處取得極小值 0, 在 x = 1處取得極大值 f(1) = 1. 所以 f(x)在 [?1, 3]上的 最大值為 f(?1) = f(1) = 1, 又因?yàn)?f(?1) = 1, f(3) = ?1. ? 特殊情形 (1) 若 f? C[a, b], 且 f在 [a, b]上單調(diào)函數(shù) , 則 f(x)的最值必在端點(diǎn)處取得 . (2) 若 f? C[a,b], f在 (a,b)內(nèi)可導(dǎo) , 且 f在 (a,b)內(nèi)有 唯一的駐點(diǎn) x0, 則當(dāng) f(x0)為極大 (小 )值時(shí) , f(x0)就是 f(x) 的最大 (小 )值 . (3) 在實(shí)際問(wèn)題中 , 若函數(shù) f ? C[a, b], f 在 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo) , 且 f 在 (a, b)內(nèi)有唯一的駐點(diǎn) x0, 又根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義可知 f(x)的最值在 (a, b)內(nèi)部取得 , 則 x0就是 f(x) 的最值點(diǎn) . ? .272)6( 3aaV ?例 2 在一塊邊長(zhǎng)為 a的正方形紙板上截去四個(gè) 全等的小正方形 , 做成一個(gè)無(wú)蓋的盒子 , 問(wèn)截去 多大的小正方形能使盒子的容量最大 ? 解 : 設(shè)截去的正方形的邊長(zhǎng)為 x, 盒子的容量為 V, 則 V = x(a?2x)2, x? (0, 由 V ?= (a?2x)(a?6x) = 0 及 x? (0, a/2) 得唯一的駐點(diǎn) x = a/6. 顯然 V的最大值在 (0, a/2)的內(nèi)部取得 , 因而 Vmax = ).2a? 四 曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn) 前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性及其判定。我們知道函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性，自然地提出問(wèn)題：能否由單調(diào)性大致作出函數(shù)在此區(qū)間上的圖形？很多同學(xué)認(rèn)為，區(qū)間太長(zhǎng)有問(wèn)題，而區(qū)間較短時(shí)沒(méi)有問(wèn)題。情況是這這樣嗎？請(qǐng)看下例： 問(wèn)題的提出 ? O xy1x 2x在 xoy面上作 y=f(x)在區(qū)間 [x1,x2]上的圖形 y=f(x)在區(qū)間 [x1,x2]上的圖形可以是黃線(xiàn)圖形，也可以是藍(lán)線(xiàn)圖形 （ 1） 觀察 由此可見(jiàn) ，僅僅知道函數(shù)的單調(diào)性，仍然不能準(zhǔn)確的作出函數(shù)的圖形。 或者說(shuō)，在知道函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，必須知道其 圖形 是形如上圖中 黃線(xiàn)的形狀 還是形如上圖中 藍(lán)線(xiàn)的形狀 ？ 黃線(xiàn)的形狀 ——向上凹的曲線(xiàn)； 藍(lán)線(xiàn)的形狀 ——向上凸的曲線(xiàn)。 本節(jié)的主要任務(wù)是研究曲線(xiàn)的凹凸性。 曲線(xiàn)的凹凸性 為此，先觀察凹凸曲線(xiàn)的特性。 ? 設(shè)曲線(xiàn) y=f(x)在區(qū)間 [a,b]上向上凹，在區(qū)間 [a,b]上 任取兩點(diǎn) x1和 x2。 通過(guò)下圖研究這兩點(diǎn)中點(diǎn) ( x1+x2 )/2處的函數(shù)值與點(diǎn) x x2處函數(shù)值的關(guān)系 . xyO1x 2x221 xx ?)( 1xf)( 2xf)2( 21 xxf ?2 )()( 21 xfxf ? 曲線(xiàn) y=f(x)在區(qū)間 [a,b]上向上凹，對(duì)于 [a,b]上 任意兩點(diǎn) x1和 x2,總有 2)()()2(2121 xfxfxxf ???曲線(xiàn) y=f(x)在區(qū)間 [a,b]上向上凸，對(duì)于 [a,b]上 任意兩點(diǎn) x1和 x2,總有 ? 2)()()2(2121 xfxfxxf ???（ 2） 定義 : 設(shè)函數(shù) f(x)定義在區(qū)間 I上 , 若 ? x1, x2? I, 總有 2)()()2(2121 xfxfxxf ???則稱(chēng)曲線(xiàn) y=f(x)在區(qū)間 I上 向上凹 . 若 ? x1, x2? I, 總有 2)()()2(2121 xfxfxxf ???則稱(chēng)曲線(xiàn) y=f(x)在區(qū)間 I上 向上凸 . （ 3）幾何意義 : 曲線(xiàn) y = f(x)在區(qū)間 I上向上 凹 (凸 )? ?x1, x2? I, 以 A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2))為端點(diǎn)的 弦位于弧的上 (下 )方 . （ 4）判定 用一階導(dǎo)數(shù)判定 定理 4 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 I內(nèi)可導(dǎo) , 且導(dǎo)數(shù) f ?(x) (嚴(yán)格 )單調(diào)增 (減 ), 則曲線(xiàn) y=f(x)在區(qū) 間 I上向上 凹 (凸 ). 定理的幾何解釋 若曲線(xiàn)上各點(diǎn)的斜率是 單調(diào)遞減 (增 )的 , 則該 曲線(xiàn)是向上凸 (凹 )的 . ? 特別 21??證明 設(shè) f ?(x)單調(diào)減 , x1, x2? I (不妨設(shè) x1 x2), 令 x0 =(x1+x2)/2, 則 x1 x0 x2. 分別在 [x1, x0]與 [x0 , x2]上 使用拉格朗日中值定理得 : f(x1) = f(x0)+ f ?(?1)(x1?x0)?f(x0)+ f ?(x0)(x1?x0), f(x2) = f(x0)+ f ?(?2)(x2 ?x0)?f(x0)+ f ?(x0)(x2?x0), 其中 ?1? (x1, x0), ?2? (x0 , x2), 于是 [ f(x1) +f(x2) ]/2? f(x0) = f((x1+x2)/2). 其它情形可以類(lèi)似地證明 . 所以曲線(xiàn) y=f(x)在區(qū)間 I上向上凸 . ? 特別 21??(2) 用二階導(dǎo)數(shù)判定 定理 5 設(shè) f(x)在區(qū)間 I內(nèi)二階可導(dǎo) , 且 ?x? I, f ??(x)?0 ( f ??(x) ? 0), 則曲線(xiàn) y=f(x)在區(qū)間 I上向上凹 (凸 ). ? 證明 設(shè) f ??(x)?0 ( f ??(x) ? 0)于區(qū)間 I,則由 定理 1可知 f ?(x)在區(qū)間 I上 單調(diào)增 (減 ), 于是由 定理 4知曲線(xiàn) y=f(x)在區(qū)間 I上向上凹 (凸 ). 4. 例子 : 討論 ???????????????????????),0()1(]0,2()1(11]2,4[)3(11)(322xxxxxxxf的凹凸性 . 解 ??????????????????????????),0()1(3)0,2()1(1)1()2,4()3(1)3()(222xxxxxxxxxff(x)在 x = ?2及 x = 0處不可導(dǎo) . ?????????????????????? ??),0()1(6)0,2(])1(1[)2,4(])3(1[)( 232232xxxxxxxf? 在 (?4, ?2)和 (1, +∞ )上取負(fù)值 , 在 (?2, 0)和 (0, 1)上 取正值 . 所以曲線(xiàn) y=f(x)在 (?4, ?2)和 (1, +∞ )上向上凹 , 在 (?2, 0)和 (0, 1)上 向上 凸 . ? 二、拐點(diǎn) 1 定義 ： 若曲線(xiàn) y = f(x)在經(jīng)過(guò) P(x0, f(x0))時(shí)改變了凹凸性 , 則稱(chēng)點(diǎn) P為曲線(xiàn) y = f(x)的拐點(diǎn) . ? 2 求拐點(diǎn)的一般步驟 求 f ??(x) =0的根及 f ??(x)不存在的點(diǎn) → 考察在所求出的點(diǎn)的兩側(cè)的符號(hào)是否變化 點(diǎn) (?2, 1)和 (1, 0)是 f(x)的拐點(diǎn) . 但點(diǎn) (0, 1)不是 f(x)的拐點(diǎn) . 167。 7漸近線(xiàn)與函數(shù)作圖 1 定義 當(dāng)曲線(xiàn) C上的動(dòng)點(diǎn) P沿著曲線(xiàn)無(wú)限 遠(yuǎn)離原點(diǎn)的時(shí)候 , 若點(diǎn) P到某直線(xiàn) L的距 離趨向于零 , 則稱(chēng) L為 C的漸近線(xiàn) . 一、 漸近線(xiàn) 觀察右圖。 ? ,)(lim ????? xfax,)(lim ????? xfax,)(lim ????? xfax.)(lim ????? xfax.)(lim bxfx ????,)(lim bxfx ????,])([lim bkxxfx ????? .)(l i m kx xfx????,])([lim bkxxfx ????? ,)(l i m kxxfx????(1) 垂直漸近線(xiàn) : x = a ① ② ③ ④ (2) 水平漸近線(xiàn) : y = b ① ② (3) 斜漸近線(xiàn) : y = kx+b ① ② 2 分類(lèi) ? 二、 函數(shù)作圖的一般步驟 (1) 求定義域 (2) 討論一些特性 , 如奇偶性 , 周期性 (3) 求間斷點(diǎn)與零點(diǎn) (4) 討論單調(diào)區(qū)間與極值 (5) 討論圖形的凸向與拐點(diǎn) (6) 討論函數(shù)的漸近線(xiàn) (7) 列表 (8) 作圖 ? (2) 曲率圓與曲線(xiàn) C的關(guān)系 : 曲線(xiàn) C在點(diǎn) M處與其曲率 圓有相同的切線(xiàn)和曲率 , 在點(diǎn) M附近與其曲率圓有 相同的凸向 , 即曲線(xiàn) C在 點(diǎn) M處與其曲率圓有相同 的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù) . (3) 在實(shí)際問(wèn)題中 , 常用曲率圓在點(diǎn) M附近的一 段圓弧近似代替曲線(xiàn)上的弧 , 以使問(wèn)題簡(jiǎn)化 . ? (4) 例子 : 設(shè)工件內(nèi)表面的截線(xiàn)為拋物線(xiàn) y2 = 4x. 現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面 .試問(wèn)直徑多大的 砂輪比較適合 ? ,42 ??yy ,2yy ?? ,4232 yyyy ???????232 ])(1[ yyK?????.)1(2 1 23x??,21解 : 當(dāng) x = 0, y = 0時(shí) , K取得最大值 ρ取得最小值 2. 故選用直徑不超過(guò) 4個(gè)單位長(zhǎng)度的砂輪比較 合適 . ?