【正文】 分條件 : ? 定理 3 設 f(x)在駐點 x0處二階可導 , 且 f ??(x0)≠ 0. 若 f ??(x0) 0,則 f(x)在點 x0處取得極大值 。 若 f ??(x0) 0,則 f(x)在點 x0處取得極小值 . 00 )()(l i m0 xxxfxfxx ??????0)(lim0 xxxfxx ???,0)(0??? xx xf證明 : 對于 f ??(x0)0的情形 : 故當 δ=|x?x0|充分小且 x≠ x0時 , 有 因為 = f ??(x0) 0, 于是 x? (x0 ?δ, x0)時 , f ?(x)0, 而 x? (x0, x0+δ)時 , f ?(x)0, 由第一充分條件知 f(x)在點 x0處取得極小值 . ? 在 x = 1處取得極小值 2. ????????0100xxxx32)(xxf ???3. 應用舉例 (1) 對于 f(x) = 有 (x≠ 0) , 故 f ??(?1)= ?2 0, f ??(1)=2 0. 因此 f(x)在 x = ?1處取得極大值 ?2, D(f ) (?∞ , ?1) ?1 (?1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞ ) f ?(x) + 0 ? 不存在 ? 0 + f(x) ↗ ?2 ↘ ↘ 2 ↗ f ??(x) ? 不存在 + ? ??????1)2(134xxxx?????????1)2(314)(23xxxxxf(2) 求 f(x) = 的極值 . 解 : f ?(1)不存在 . 由 f ?(x) = 0得 x = 0或 2. 當 x 0時 , f ?(x)0, 當 x? (0, 1)時 , f ?(x)0. 故 f(x)在 x = 0處取得極小值 f(0) = 0. 當 x? (1, 2)時 , f ?(x)0, 故 f(x)在 x = 1處取得極大值 f(1) = 1. 當 x? (2, +∞ )時 , f ?(x)0, 故 x =2不是 f(x)的極值點 . ? f ??(0)= 0 = f ??(2), 不能用第二充分條件 . ?????????1)2(6112)( 2xxxxxf注 ④ 這里 ? 三 函數(shù)的最大 (小 )值 求最大 (小 )值的一般步驟 理論基礎 :在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得最大值和最小值 . 判斷有無最值 ↓ 求可能的極值 ↓ 計算 端點值 ↓ 經比較得最值 最小值為 f(3) = ? 1. ???????]3,1()2(]1,1[34xxxx例 1 求 f(x) = 的最值 . 解 : f(x)? C[?1, 3], 故有最大值與最小值 . 由上例可知 f(x) 在 x = 0處取得極小值 0, 在 x = 1處取得極大值 f(1) = 1. 所以 f(x)在 [?1, 3]上的 最大值為 f(?1) = f(1) = 1, 又因為 f(?1) = 1, f(3) = ?1. ? 特殊情形 (1) 若 f? C[a, b], 且 f在 [a, b]上單調函數(shù) , 則 f(x)的最值必在端點處取得 . (2) 若 f? C[a,b], f在 (a,b)內可導 , 且 f在 (a,b)內有 唯一的駐點 x0, 則當 f(x0)為極大 (小 )值時 , f(x0)就是 f(x) 的最大 (小 )值 . (3) 在實際問題中 , 若函數(shù) f ? C[a, b], f 在 (a, b) 內可導 , 且 f 在 (a, b)內有唯一的駐點 x0, 又根據(jù)問題的實際意義可知 f(x)的最值在 (a, b)內部取得 , 則 x0就是 f(x) 的最值點 . ? .272)6( 3aaV ?例 2 在一塊邊長為 a的正方形紙板上截去四個 全等的小正方形 , 做成一個無蓋的盒子 , 問截去 多大的小正方形能使盒子的容量最大 ? 解 : 設截去的正方形的邊長為 x, 盒子的容量為 V, 則 V = x(a?2x)2, x? (0, 由 V ?= (a?2x)(a?6x) = 0 及 x? (0, a/2) 得唯一的駐點 x = a/6. 顯然 V的最大值在 (0, a/2)的內部取得 , 因而 Vmax = ).2a? 四 曲線的凹凸性與拐點 前面我們學習了函數(shù)的單調性及其判定。我們知道函數(shù)在某區(qū)間上的單調性，自然地提出問題：能否由單調性大致作出函數(shù)在此區(qū)間上的圖形？很多同學認為，區(qū)間太長有問題，而區(qū)間較短時沒有問題。情況是這這樣嗎？請看下例： 問題的提出 ? O xy1x 2x在 xoy面上作 y=f(x)在區(qū)間 [x1,x2]上的圖形 y=f(x)在區(qū)間 [x1,x2]上的圖形可以是黃線圖形，也可以是藍線圖形 （ 1） 觀察 由此可見 ，僅僅知道函數(shù)的單調性，仍然不能準確的作出函數(shù)的圖形。 或者說，在知道函數(shù)的單調性時，必須知道其 圖形 是形如上圖中 黃線的形狀 還是形如上圖中 藍線的形狀 ？ 黃線的形狀 ——向上凹的曲線； 藍線的形狀 ——向上凸的曲線。 本節(jié)的主要任務是研究曲線的凹凸性。 曲線的凹凸性 為此，先觀察凹凸曲線的特性。 ? 設曲線 y=f(x)在區(qū)間 [a,b]上向上凹，在區(qū)間 [a,b]上 任取兩點 x1和 x2。 通過下圖研究這兩點中點 ( x1+x2 )/2處的函數(shù)值與點 x x2處函數(shù)值的關系 . xyO1x 2x221 xx ?)( 1xf)( 2xf)2( 21 xxf ?2 )()( 21 xfxf ? 曲線 y=f(x)在區(qū)間 [a,b]上向上凹，對于 [a,b]上 任意兩點 x1和 x2,總有 2)()()2(2121 xfxfxxf ???曲線 y=f(x)在區(qū)間 [a,b]上向上凸，對于 [a,b]上 任意兩點 x1和 x2,總有 ? 2)()()2(2121 xfxfxxf ???（ 2） 定義 : 設函數(shù) f(x)定義在區(qū)間 I上 , 若 ? x1, x2? I, 總有 2)()()2(2121 xfxfxxf ???則稱曲線 y=f(x)在區(qū)間 I上 向上凹 . 若 ? x1, x2? I, 總有 2)()()2(2121 xfxfxxf ???則稱曲線 y=f(x)在區(qū)間 I上 向上凸 . （ 3）幾何意義 : 曲線 y = f(x)在區(qū)間 I上向上 凹 (凸 )? ?x1, x2? I, 以 A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2))為端點的 弦位于弧的上 (下 )方 . （ 4）判定 用一階導數(shù)判定 定理 4 設函數(shù) f(x)在區(qū)間 I內可導 , 且導數(shù) f ?(x) (嚴格 )單調增 (減 ), 則曲線 y=f(x)在區(qū) 間 I上向上 凹 (凸 ). 定理的幾何解釋 若曲線上各點的斜率是 單調遞減 (增 )的 , 則該 曲線是向上凸 (凹 )的 . ? 特別 21??證明 設 f ?(x)單調減 , x1, x2? I (不妨設 x1 x2), 令 x0 =(x1+x2)/2, 則 x1 x0 x2. 分別在 [x1, x0]與 [x0 , x2]上 使用拉格朗日中值定理得 : f(x1) = f(x0)+ f ?(?1)(x1?x0)?f(x0)+ f ?(x0)(x1?x0), f(x2) = f(x0)+ f ?(?2)(x2 ?x0)?f(x0)+ f ?(x0)(x2?x0), 其中 ?1? (x1, x0), ?2? (x0 , x2), 于是 [ f(x1) +f(x2) ]/2? f(x0) = f((x1+x2)/2). 其它情形可以類似地證明 . 所以曲線 y=f(x)在區(qū)間 I上向上凸 . ? 特別 21??(2) 用二階導數(shù)判定 定理 5 設 f(x)在區(qū)間 I內二階可導 , 且 ?x? I, f ??(x)?0 ( f ??(x) ? 0), 則曲線 y=f(x)在區(qū)間 I上向上凹 (凸 ). ? 證明 設 f ??(x)?0 ( f ??(x) ? 0)于區(qū)間 I,則由 定理 1可知 f ?(x)在區(qū)間 I上 單調增 (減 ), 于是由 定理 4知曲線 y=f(x)在區(qū)間 I上向上凹 (凸 ). 4. 例子 : 討論 ???????????????????????),0()1(]0,2()1(11]2,4[)3(11)(322xxxxxxxf的凹凸性 . 解 ??????????????????????????),0()1(3)0,2()1(1)1()2,4()3(1)3()(222xxxxxxxxxff(x)在 x = ?2及 x = 0處不可導 . ?????????????????????? ??),0()1(6)0,2(])1(1[)2,4(])3(1[)( 232232xxxxxxxf? 在 (?4, ?2)和 (1, +∞ )上取負值 , 在 (?2, 0)和 (0, 1)上 取正值 . 所以曲線 y=f(x)在 (?4, ?2)和 (1, +∞ )上向上凹 , 在 (?2, 0)和 (0, 1)上 向上 凸 . ? 二、拐點 1 定義 ： 若曲線 y = f(x)在經過 P(x0, f(x0))時改變了凹凸性 , 則稱點 P為曲線 y = f(x)的拐點 . ? 2 求拐點的一般步驟 求 f ??(x) =0的根及 f ??(x)不存在的點 → 考察在所求出的點的兩側的符號是否變化 點 (?2, 1)和 (1, 0)是 f(x)的拐點 . 但點 (0, 1)不是 f(x)的拐點 . 167。 7漸近線與函數(shù)作圖 1 定義 當曲線 C上的動點 P沿著曲線無限 遠離原點的時候 , 若點 P到某直線 L的距 離趨向于零 , 則稱 L為 C的漸近線 . 一、 漸近線 觀察右圖。 ? ,)(lim ????? xfax,)(lim ????? xfax,)(lim ????? xfax.)(lim ????? xfax.)(lim bxfx ????,)(lim bxfx ????,])([lim bkxxfx ????? .)(l i m kx xfx????,])([lim bkxxfx ????? ,)(l i m kxxfx????(1) 垂直漸近線 : x = a ① ② ③ ④ (2) 水平漸近線 : y = b ① ② (3) 斜漸近線 : y = kx+b ① ② 2 分類 ? 二、 函數(shù)作圖的一般步驟 (1) 求定義域 (2) 討論一些特性 , 如奇偶性 , 周期性 (3) 求間斷點與零點 (4) 討論單調區(qū)間與極值 (5) 討論圖形的凸向與拐點 (6) 討論函數(shù)的漸近線 (7) 列表 (8) 作圖 ? (2) 曲率圓與曲線 C的關系 : 曲線 C在點 M處與其曲率 圓有相同的切線和曲率 , 在點 M附近與其曲率圓有 相同的凸向 , 即曲線 C在 點 M處與其曲率圓有相同 的一階導數(shù)和二階導數(shù) . (3) 在實際問題中 , 常用曲率圓在點 M附近的一 段圓弧近似代替曲線上的弧 , 以使問題簡化 . ? (4) 例子 : 設工件內表面的截線為拋物線 y2 = 4x. 現(xiàn)要用砂輪磨削其內表面 .試問直徑多大的 砂輪比較適合 ? ,42 ??yy ,2yy ?? ,4232 yyyy ???????232 ])(1[ yyK?????.)1(2 1 23x??,21解 : 當 x = 0, y = 0時 , K取得最大值 ρ取得最小值 2. 故選用直徑不超過 4個單位長度的砂輪比較 合適 . ?