【正文】 用 當(dāng) |?x|充分小時 , f(x0+?x) ? f(x0)+ f ?(x0)?x. 例 2 設(shè) y = esinx， 求 dy. dy = esinxd(sinx) = esinxcosxdx. ? 引例解答 : 0 0 的近似值 . 取 f(x)=x1/2 , x0=100， ?x=0 . 1， 則由 f(x0+?x) ? f(x0)+ f ?(x0)?x 有 1002 ????167。 2 微分 一 . 微分的概念 1. 引例 : 0 0 的近似值 . (1) 用 10100 ? 作為 0 0 的近似值 . (2) 用 ???作為 0 0的近似值 . (3) 用計算器算得的近似值為 : ? xyx ????? 0lim),( xAxy ?????? ?2. 引例的兩點啟示 (1) f(x)在 x0處可導(dǎo) 存在 (記為 f ?(x0)=A) (其中 ?(?x)?0(?x?0) ). (2) 若 f(x)在 x0處可導(dǎo) , 則當(dāng) |?x|充分小時 , ?y ? f ?(x0)?x, 從而 f(x0+?x) ? f(x0)+ f ?(x0)?x. ??y = A?x+o(?x). ? 或 0d xxy ? .)(d 0xf3. 定義 由自變量的改變量 ?x得到的相應(yīng)的函數(shù)值 的改變量 ?y = f(x0+?x)? f(x0)可以表示為 其中 A與 ?x無關(guān) , o(?x)為 ?x?0時比 ?x高階的無窮小量 . 則稱函數(shù) y = f(x)在 x0處 可微 , 并稱 A?x為 f(x)在 x0處的 微分 (?y的 線性部分 ), 記為 ?y = A?x+o(?x). (1) 設(shè)函數(shù) y = f(x)在 x0的某一個鄰域內(nèi)有定義 , ? 則稱 f(x)在 I上可微 . (2) 設(shè) y = f(x)在區(qū)間 I上的每一點處都可微 , 因此導(dǎo)數(shù)又稱為 微商 . 4. 可微與可導(dǎo)的關(guān)系 定理 : 函數(shù) y = f(x)在 x0處可微 ? f(x)在 x0處可導(dǎo) (d f (x0) = f ?(x0)?x ). 5. 微商 : 注意到 dx = (x)??x = ?x, 即自變量的微分 等于自變量的改變量 , 于是 dy = f ?(x)dx, .)(dd xfxy ??從而 ? dx有關(guān) , 而 x與 dx又是相互獨立的兩個變量 . 注 ① 由 dy = f ?(x)dx可見微分 dy既與 x有關(guān) , 又與 2?,0)2(c os)(s i nd22???????? ?? xxxy xx ???.0d2?? ?xy6. 例子 : 求 y = sinx在 x = 0和 x = 解 : dy|x=0 =(sinx)? |x=0 (2) )1l n ()( 2 xxxfy ??? ,求 )0()2(f. 四 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) , 參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （ 1）定義 若存在一個定義在某個區(qū)間上的函數(shù) y = f(x), 使得 F(x, f(x))≡0, 則稱 y = f(x) 為由方程 F(x, y)=0所確定的 隱函數(shù) . ? （ 2）問題 由方程 F(x, y)=0常常難以得到 隱函數(shù) y = f(x). 對函數(shù) y = f(x), 人們感興趣的是導(dǎo)數(shù) ——f‘(x), 而不是函數(shù) y = f(x)的表達(dá)式。 不難看出 ???????dtdsdtda 或 )39。 (ii) 連續(xù)但不可導(dǎo) 。 y??(0)= g??(0)=0。 y??(?1)= f??(?1) =1。(x0)?0, 則進(jìn)一步可得法線方程為 ).()(1)(000 xxxfxfy ?????若 f ?(x0)=0, 則切線方程為 y = f(x0), 法線方程為 x = x0. 如 y = (x?2)2+1在 x = 2處 . 若 f ?(x0)=?, 則曲線 y = f(x)在點 x0處有垂直于 x 軸的切線 , 此時切線方程為 x = x0, 法線方程為 y = f(x0). 如 在 x = 1處 . 213 ??? xy? （ 2）物理意義 設(shè) 質(zhì)點經(jīng)過時間 t的運動路程為 s=f(t). 函數(shù) s=f(t)在點 t0的導(dǎo)數(shù) f‘(t0), 表示質(zhì)點在時刻 t0的 (瞬時 )速度。(x)=?. （ 2） 若極限 不存在 , xyx ???? 0lim).( 0xf ??)( 0xf ?? 與 易見函數(shù) y = f(x)在點 x0可導(dǎo) ? )( 0xf ??)( 0xf ?? 與 均存在且相等 . ? 你能寫出嗎？！ 為什么？ （ 4） 若函數(shù) y = f(x)在區(qū)間 (a, b)內(nèi)的每一點處都 可導(dǎo) , 則稱函數(shù) y = f(x)在區(qū)間 (a, b)內(nèi)可導(dǎo) . 若函數(shù) y = f(x)在 (a, b)內(nèi)可導(dǎo) ,且在 x = a處右 可導(dǎo) ,在 x = b處左可導(dǎo) ,則稱函數(shù) y = f(x)在閉 區(qū)間 [a, b]上可導(dǎo) . 其它區(qū)間？ （ 5） 若函數(shù) y = f(x)在區(qū)間 I內(nèi)可導(dǎo) , 則 ?x?I, 有 唯一確定的 f39。 1 導(dǎo)數(shù) 1. 切線問題 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 零 . 引例 ? 因而切線 MT的斜率為 00 )()(tanxxxfxf????,)()(limtan000 xxxfxfxx ?????.l i mta n0 xyx ??????取割線 MN, 當(dāng) x→ x0時 , 割線 MN→ 切線 MT, 即 其斜率為 平面曲線 C在其上點 M的切線的斜率 : 即 ?x = x ? x0 ?0時 , ? 公路 (包括高速公路 )上為了保證行車安全 ,交通管理部門在許多路段規(guī)定行車速度 .利用測控技術(shù) ,交通警察實時監(jiān)測各通行車輛的行車速度 . 物理原理是什么 ?如何計算 ? 設(shè)質(zhì)點作直線運動 ,其所走路程 s與時間 t的函數(shù)關(guān)系為 s=f(t),求質(zhì)點運動的速度 (的大小 )v=v(t). 如果質(zhì)點作勻速直線運動 ,則問題簡單 v=v(t)=s(t)/t. 對于一般的直線運動 ,質(zhì)點在時刻 t0到 t0+Δt這段時間所走路程為 Δs=f(t0+Δt)f(t0) 于是 ,質(zhì)點在時刻 t0附近的平均速度為 ttfttfts??????? )()( 00 由極限的思想 ,質(zhì)點在時刻 t0的 (瞬時 )速度為 ttfttftstt ???????????)()(l i ml i m 0000從而質(zhì)點在時刻 t的 (瞬時 )速度為 ttfttftstt ???????????)()(l i ml i m00 在自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會科學(xué)中還有很多問題，如比熱、密度、增長率等問題都可歸結(jié)為求函數(shù)y=f(x)在點 x0形如以下形式的極限問題 xxfxxfxyxx ???????????)()(l i ml i m 0000這是數(shù)學(xué)抽象！即不考慮問題的實際意義，只考慮數(shù)量關(guān)系！ 定義 （ 1） 設(shè) y = f(x)定義在 (x0r,x0+r)內(nèi) . 若極限 xxfxxfx ??????)()(lim 000),( 0xf ? ,| 0xxy ?? ,dd0xxxy?或 .d )(d0xxxxf?即 xxfxxfxyxfxx ?????????????)()(l i ml i m)( 00000一 . 導(dǎo)數(shù)的概念 存在 , 則稱函數(shù) y = f(x)在點 x0處 可導(dǎo) , 并稱此極限值為 y = f(x)在點 x0處的 導(dǎo)數(shù) . 記為 .)()(l i m000 xxxfxfxx ???? ? （ 3） 利用單側(cè)極限 可以 定義 單側(cè)導(dǎo)數(shù) 則稱函數(shù) y = f(x)在點 x0處 不可導(dǎo) . 特別地 ,若極限值為 ∞ , 則稱函數(shù) y = f(x)在點 x0處的 導(dǎo)數(shù)為無窮大 , 記為 f39。(x0) (x ? x0), 若 f39。 例題 (1) 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (C)? = 0, (x?)? = ?x? ?1 (??R), (sinx)? = cosx, (cosx)? = ?sinx, (ax)? = axlna (a0, a ? 1), (ex)? = ex. ? 解 : ?x?(0, +?), 有 (2) 求 f(x)=log a x的導(dǎo)數(shù) . 特別地 , xxxxxf aax ????????l og)(l oglim)(0xxxax ??????)1(lo gli m0.1)(l n xx ??.ln1 ax?xxxxxax ???????)1(l o glim0? (3) 求分段函數(shù) ??????????????????1 1310 01 1 232xxxxxxxxy 的導(dǎo)數(shù) . 解 : 令 f(x)=x+2, g(x)=x2, h(x)=x3, ? (x)=3x?1. 則 f ?(x)=1, g?(x)=2x, h?(x)=3x2, ? ?(x)=3 (x?R). ① 當(dāng) x?(??, ?1)時 , y = f(x), 故 y?= f ?(x)=1。 ④ 當(dāng) x?(1, +?)時 , y = ? (x), 故 y?= ? ?(x)=3. y+?(?1)= g+?(?1) = ?2。 1處不可導(dǎo) . ? 綜上所述 , ?????????????????1 310 301 21 12xxxxxxy注① : 可見 , 分段函數(shù)在 分段點處的分析性質(zhì)須 慎重對待 . 幾種情況都可能出現(xiàn) . (i) 不連續(xù) 。 對于速度函數(shù) v=v(t)在點 t的導(dǎo)數(shù) v‘(t), 表示質(zhì)點在任意時刻 t的 (瞬時 ) 加速度 a(t)。 . xy c o s?(3) ?xy ?, 特別 nxy ?. baxy ??1(4) . 例 2 求下列初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) : (1) xexy 2? ,求 )3(y。 .dd22xy,1 )(22yyyxeyxeyey?????????.)2()3(dd3222yyexy y???例 2 y = 1+xey, 求 解 : 等式兩邊對 x求導(dǎo)得 整理 得 再在 y? = ey+xey y?兩邊對 x求導(dǎo)得 解出 y ?得 將 (☆ )代入上式并利用 xey = y?1化簡得 y ?= ey y? + ey y? + xey y? y?+ xey y ?, .1 yyxeey???(☆ ) y? = ey+xey y?, ? xxxxxeyln2 a r c t a ns i n?????????)],l n ( a r c t a nln2)l n ( s i n[lnln xxxxxy ?????)]l n (ar c tanln2)l n (s i n[11 xxxxxyy???????xxxxxeyln2 a r c t a ns in????????對數(shù)求導(dǎo)法 例 3 求 的導(dǎo)數(shù) . 解 : ??? 1[ln xxx c oss i n1 x2? ].1 1ar c tan1 2xx ??.)ar c tan1( lnln)c ot1(ar c t