【正文】 ? ?當(dāng)然 ， 我們希望知道估計(jì)誤差究竟有多大 ， 或者說 與 接近程度如何 ？ 0?? 1?? 0?1?1?0?0? 1?0?? 1?? 0?1?1??1?1?1??1?? 1??隨著抽樣的不同，誤差大?。? ）是一個(gè) 隨機(jī)變量 ，因此，需要考慮概率意義下的平均誤差，由于 ?所以不能直接對(duì)估計(jì)誤差取均值，而應(yīng)對(duì)誤差的平方取平均，即： ?可以看出，這是估計(jì)量 的方差；這一點(diǎn)也容易理解，因?yàn)?OLS估計(jì)是無偏估計(jì)，均值即為參數(shù)真值，所以估計(jì)量關(guān)于均值的平均偏差 —方差也就反映了估計(jì)量與參數(shù)真值的平均偏差。 1?? 1?，01111 ?????? ???? )?()?(221211211ix)?(V ar)]?(?[)?( ????????? ??????1??標(biāo)準(zhǔn)誤差 SE(Standard Error) ?由于方差的計(jì)量單位與原變量的不一致 ， 因此 ，在計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中常用標(biāo)準(zhǔn)誤差去度量估計(jì)量的精確性 ， 標(biāo)準(zhǔn)誤差是方差的平方根 ， 用SE(Standard Error)表示 ， 這樣 ， 參數(shù)估計(jì)量的平均誤差為： ?這說明：由于是的無偏估計(jì)量 ， 均值即為參數(shù) 真值 ， 的分布中心是 。 標(biāo)準(zhǔn)差 SE( )可用來衡量估計(jì)量 接近真值 的程度 ， 判定估計(jì)量 的可靠性 。 所以估計(jì)量關(guān)于均值的平均偏差 ─ 標(biāo)準(zhǔn)差也就反映了參數(shù)估計(jì)量與參數(shù)真值的 平均偏差 . )?x)?(V a r)?(i1221211 SE ( ????? ??????1??1??1??1?? 1?1?總體方差 估計(jì) ?由于總體方差 未知 ， 和 的方差和標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)際上無法計(jì)算 。 由于隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) ui不可觀測(cè) ， 我們只能從 ui的估計(jì)量 —?dú)埐?ei出發(fā) ， 對(duì)總體方差 進(jìn)行估計(jì) 。 ?可以證明 （ 證明見本章附錄 C） ：總體方差 的無偏估計(jì)量為： ?即： ?因此 ,可以用 代替 ， 參數(shù)估計(jì)量的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差就成為： 2?2?2?2?2?22???ne i?22 ?? ?)?(E2?? 2???21ix?)?(E?S ??0? 1?估計(jì)誤差 ?同理 參數(shù)估計(jì)量 的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差為 ： 把 簡(jiǎn)稱為 和 的 估計(jì)誤差 。 ?參數(shù)的估計(jì)誤差只是反映了估計(jì)量與真值的平均相對(duì)偏離程度； ? 越小 ， 則 與 的近似誤差越小 ， 但不能認(rèn)為 與 之間的絕對(duì)誤差就是 。 ?這可以從參數(shù)的置信區(qū)間得到進(jìn)一步的說明 。 0?? ???220 ?)?(?iixnXES ??),?(E?S 1? )?(E?S 0? 1?? 0??1??()SE ? 1?? 1?1?1?? )?(? 1?ES2．區(qū)間估計(jì) ?利用普通最小二乘法得到的只是參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) ，只是待估參數(shù)的一個(gè)近似值 ， 而點(diǎn)估計(jì)本身既沒有反映這種近似值的精確度 ， 又不知道它的誤差范圍 。 ?為了對(duì)參數(shù)的取值情況有更多的了解 ， 可以按一定的可靠性確定參數(shù)真值的 取值范圍 ， 用統(tǒng)計(jì)術(shù)語來說 ， 就是在一定置信度下 ， 求參數(shù)的置信區(qū)間 ， 這就是參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 。 為了說明這些問題 ，需要先確定最小二乘估計(jì)量的 概率分布 。 的概率分布 ?總體回歸模型 ?根據(jù)基本假定 5 ?可得： Yi～ N( ， ) . ?由于 和 分別是 Yi的線性組合函數(shù)，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中正態(tài)分布變量的性質(zhì)，即正態(tài)變量的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布，其分布函數(shù)由其均值和方差唯一決定 。 ?因?yàn)?E（ ） = ?所以： 1??iii uXY ??? 10 ??iX10 ?? ? 2?0?? 1??221ix)?(V a r?? ??1?? 1?)x(N~?i2211 ???? ，t分布 ?由數(shù)理統(tǒng)計(jì)的定理知：若 是 的無偏估計(jì) ，則統(tǒng)計(jì)量 : ?將 作標(biāo)準(zhǔn)化變換得 ： ?根據(jù) t檢驗(yàn)的定義得： 2?22???ne i? 2?2221 2 ???)n(z ?? )2(~ 2 ?n?1??),(N~x?zi1022112??????)2(~)?(????????2?)2(?211122112122221222211212???????????????????ntESxxxnnxnzztiiii???????????????????置信度 ?對(duì)于給定的顯著性水平 ， 即置信度為 時(shí) ，當(dāng)自由度一定時(shí) ， 統(tǒng)計(jì)量 t的置信區(qū)間即已確定 。 ?由于 t分布曲線對(duì)稱于縱軸 ， 故隨機(jī)變量 t落入?yún)^(qū)間 范圍內(nèi)的 概率 為 ， 等于 t分布曲線下由直線 及橫軸所圍的面積 ,如圖 : ? ??1)1( ??21 , tttt ??? ?21,tt置信區(qū)間 ?即就是 ?代換 ?即 ?于是，對(duì)于給定顯著性水平 ，參數(shù)的置信度為 1 的置信區(qū)間為： ?同理： ?解釋 ??? ????? 1)(22tttP???? ?? ?????? 1))?(??(21112tEStP?????? ?? ?????? 1))?(??)?(??( 1211121 EStEStP? ??????? ?? )?(??),?(??121121 ???? ?? EStESt?????? ?? )?(??),?(??020020 ???? ?? EStESt第三節(jié) 一元回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 一、回歸系數(shù)的顯著性 二、模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn) ? R2檢驗(yàn) 三、模型的顯著性檢驗(yàn) ? F檢驗(yàn) 一、回歸系數(shù)的 顯著性 1. 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想 為什么要作假設(shè)檢驗(yàn) ？ 所估計(jì)的回歸系數(shù) 、 和方差 都是通過 樣本計(jì)算的 ， 都是隨抽樣而變動(dòng)的 隨機(jī)變量 ， 它們真值 和 之間的差異是否顯著還需要加以檢驗(yàn) 。 所謂假設(shè)檢驗(yàn) ， 就是對(duì)于未知 參數(shù) ， 先假設(shè)一個(gè)確定值 ， 然后根據(jù)隨機(jī)選取的樣本數(shù)據(jù) ， 采用適當(dāng)?shù)姆椒?， 檢驗(yàn)參數(shù)的假設(shè)值與真實(shí)值是否一致 ， 從而決定接受或拒絕假設(shè)值 。 2??1?? 2??0?1?對(duì)回歸系數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想 ?在所估計(jì)樣本回歸系數(shù)概率分布性質(zhì)已確定的基礎(chǔ)上，在對(duì)總體回歸系數(shù)某種原假設(shè)成立的條件下，利用適當(dāng)?shù)挠忻鞔_概率分布的統(tǒng)計(jì)量和給定的顯著性水平 ，構(gòu)造一個(gè)小概率事件，判斷原假設(shè)結(jié)果合理與否。 ?因?yàn)橐粋€(gè)小概率事件在一次觀察中可以認(rèn)為基本不發(fā)生，如果該事件發(fā)生，就認(rèn)為原假設(shè)不真，從而拒絕原假設(shè)接受備擇假設(shè)。 ? 對(duì)回歸系數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的方式 ?由于總體參數(shù) 和 是未知的 ， 因此 ， 需要對(duì)這兩個(gè)總體參數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)； ?計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中 ， 主要是針對(duì)變量的參數(shù)真值是否為零來進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的 。 ?目的： 對(duì)簡(jiǎn)單線性回歸 ， 判斷解釋變量 X是否對(duì)被解釋變量 的顯著影響因素 。 ?在一元線性模型中 ， 就是要判斷 X是否對(duì) Y具有顯著的 線性 影響 。 這就需要進(jìn)行變量的顯著性檢驗(yàn) 。 Y1?0?回歸系數(shù)的檢驗(yàn)方法 ?已知 的概率分布 ，就可以對(duì)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)， ?在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，由于 未知，只能用其無偏估計(jì)量 代替，這時(shí) 的標(biāo)準(zhǔn)化變量就服從自由度為 n2的 t分布，而不是正態(tài)分布： ?即： )x(N~? 2211 ???? ，2?1??2?? 1??)2(~)?(??111 ??? ntESt???總體參數(shù)顯著性進(jìn)檢驗(yàn)的步驟： ? 1． 對(duì)總體參數(shù)提出假設(shè)：原假設(shè) H0: =0 備擇假設(shè) H1: ,因此 ,備擇假設(shè)是雙邊檢驗(yàn) 。 ?2． 構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量 ， ? 3. 在原假設(shè) H0的條件下 ,由樣本觀測(cè)值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t的值 。 ? ， 查自由度為 n2的 t分布表 ，得臨界值 。 ? 5． 作出推斷：若 則拒絕 H0: =0；接受 0，即 與 0有顯著區(qū)別 ， 所對(duì)應(yīng)的變量 X對(duì) Y的影響不容忽視 。 1?1 0? ?)?(??)?(??11111?????ESESt ????)2(2?nt?2( 2 )t t n???1??1? 1?二、模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn) ? R2檢驗(yàn) 問題的提出 ? 因?yàn)?OLS估計(jì)式具有最小方差性和無偏性 ， 只是反映了這樣一個(gè)事實(shí) ， 即相對(duì)于 一切 樣本回歸函數(shù)來說 ， 由 OLS估計(jì)式所確定的樣本回歸函數(shù)具有某些特性 ， 但它并不能說明 單個(gè) 樣本回歸函數(shù)具有較高的擬合程度； ? 雖然最小二乘法已經(jīng)使所估計(jì)的樣本回歸函數(shù)具有最小殘差平方和即達(dá)到最小 ， 但殘差平方和即的值本身可能會(huì)很大； 因此 ， 就需要有一個(gè)度量擬合優(yōu)度的 相對(duì)指標(biāo) 。 ? 下圖可以幫助我們理解這個(gè)問題 點(diǎn)與直線擬合很差 iY ?總 變 差^ i( Y Y ) ?SRF^ i( Y Y ) ? 來 自 回 歸ie 來自殘差iXYYX?設(shè)對(duì)于樣本觀察值 ， 由 OLS得到的樣本回歸直線為 SRF， )n,i(),Y,X( ii ?21?iii YYe ???YYy ii ?? ??YYy ii ??總變差的分解 ?由圖可看出 ， Y的第 i個(gè)觀察值與樣本均值的離差稱為總離差 ， 記 ， 總離差可以分作兩部分 : ?一部分： 是通過樣本回歸直線計(jì)算的擬合值與觀察值的平均值之差 。 它是由樣本回歸直線 （ 解釋變量 ） 所解釋的部分 ,是由于 X的變化而引起的 Y的變化 。 ? 另一部分： ， 是實(shí)際觀察值與回歸直線的擬合值之差 ， 稱為殘差 ， 是樣本回歸直線所不能解釋的部分 ， 是由隨機(jī)因素 ， 觀測(cè)誤差等綜合影響而產(chǎn)生的 。 ,?? YYy i ??iii YYe ???YYy ii ??)?()?( YYYYYY iiii ?????總變差平方和的分解 ? 因?yàn)?,