34多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分-資料下載頁
2025-08-04 18:32本頁面
【正文】 z 在 (0, 0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)存在 , 但 z 在 (0, 0)不可微 . 證 由偏導(dǎo)定義 xfxffxx ???)0,0()0,0(lim)0,0(0?????= 0 yfyffyy ???)0,0()0,0(lim)0,0(0?????= 0 ])0,0()0,0([ yfxfz yx ???????但而 z??22 yxyx??????2322002200)(l i ml i m yxyxyxzyxyx??????????????????0?故 z 在 (0, 0) 不可微 . 連續(xù)、可導(dǎo)與可微的關(guān)系 函數(shù)可微 函數(shù)連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 偏導(dǎo)存在 ????????)0,0(),(,0)0,0(),(,1s i n22yxyxyxxy 在 )0,0( . 定理 定理 可微的定義 例 1 (0 ,0 )22在yxz ??在例 2 求 z = x2 cos xy 的全微分 . 解 故 dz = (2xcosxy ? x2ysinxy)dx ? x3sinxydy xyxxz c o s2??? yxyx ??? )s i n(2xxyxyz ????? )si n(2例 3 求 z = exy 在點(diǎn) (2, 1)處的全微分 . 解 ,yexz xy ???? xeyz xy ????故 dz = yexydx + xexydy yexez yx d2dd 2212 ????例 4 求 u = xyz 的全微分 . 解 ,1???? yzy zxxu xzxyu yz ln?????故 du = yzxyz–1 dx + zxyz lnxdy + yxyz lnxdz xyxzu yz ln?????= xyz–1 (yzdx + xzlnxdy + xylnxdz) 49 11 1 ??????????????????zzyxyzyyxzxuzyxzzd, 求練習(xí)： ???????zyxyxyyxyxzxyxyzuzzzdlnddd121?????????????????????? ??1221 ???????????????? ??????????zzyxyxzyxyxzyuyxyxzu z ln?????????二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 都較小時(shí)，有近似等式連續(xù)，且個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的兩在點(diǎn)當(dāng)二元函數(shù)yxyxfyxfyxPyxfzyx ???,),(),(),(),(yyxfxyxfdzz yx ??? ),(),( ???也可寫成 yyxfxyxfyxfyyxxfyx ????),(),(),(),(?????求增量 改變后的 量 例 5 計(jì)算 )( 的近似值 . 解 .),( yxyxf ?設(shè)函數(shù).,2,1 ?????? yxyx取,1)2,1( ?f?,),( 1?? yx yxyxf ,ln),( xxyxf yy ?,2)2,1( ?xf ,0)2,1( ?yf由公式得 )( ?????.?解 hRV 2??例 6 設(shè)有一無蓋圓柱形容器，容器的壁與底的 厚度均為 ,內(nèi)高為 20cm，內(nèi)半徑為 4cm， 求容器外殼體積的近似值． 欲求 V?dVV ?? RRh ??? 2 h?2??)2( hRRhR ?? ???)( ???????)( 3cm?１． 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)； ２． 多元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)； ３． 多元函數(shù)的全微分． 三、小結(jié)
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