【正文】 限 。 或者 先求 0yy ? 的極 限 , 再求 0xx ? 的極 限 研究 累次極限 對任意的)1( 有 1?有 ??????????? 22220lim yx yxy,0?x58 (2) 同理 : (3)再來分析當點 (x, y)沿過原點的直線 因此 1limlim 222200?????????????? yxyxxy222200limyxyxyx ????2222220l i m xkx xkxkxy ????? 2211kk???),(l i m00yxfyx??不存在 . 多元函數的基本概念 對任意的 有 2222),( yx yxyxf ???趨向于 kxy ?,0?y有 )0,0( 時 , 59 可證明當 f( x, y)在 P0(x0, y0)的一個鄰域上 ),(l i m00yxfyyxx???????? ?? ),(limlim00yxfyyxx 。),(limlim00????????yxfxxyy與????????),(limlim00yxfyyxx第二 , 一般也是不相同的 。 ????????),(l i ml i m00yxfxxyy第三 , 由此看出 : 第一 , 不能理解為 多元函數的基本概念 連續(xù)時 , 上述三個極限均相等 . 或 60 求 答 : 0 答 :不存在 . 答 :不存在 . 累次極限都不存在時 ,但全面極限也可能 ?????????0001s i n1s i n),(xyxyxyyxyxf),(l i m00yxfyx??)),(lim(lim 00 yxfyx ??)),(lim(lim 00 yxfxy ??注 多元函數的基本概念 存在 . 累次極限與全面極限有本質的區(qū)別 . |||||),(| yxyxf ???61 例 求極限 .)s i n (lim22200 yxyxyx ???解 ???? 22200)s i n (l i myxyxyx其中 yxyxyx 2200)s in(lim?? uuusinlim0? ,1?222yxyx? ,00?? ?? ?x.0)s i n (lim 22200????? yxyxyxyxu 2?2||22 xxyyx ??多元函數的基本概念 yxyxyx 2200)s i n (l i m?? ,222yxyx??62 多元函數的基本概念 例 求極限 .42l i m00 ???? xyxyyx解 將 分母有理化 ,得 ????? 42l im00 xyxyyx xyxyxyyx ?????)42(l i m00)]42([lim00??????xyyx4??63 想一想 如何證明 f( x, y)在 ????????????000)(s i n),(222222yxyxyxyxxyyxf設 證 ,022 時當 ?? yx,)0,0(),( 時故當 ?yx.)0,0(),( 也連續(xù)在下面證明 yxf多元函數的基本概念 xOy面上處處連續(xù) ? 22)(s in),(yxyxxyyxf???是 初等函數， ),( xf 處處連續(xù) . 64 又 02||lim00????yxyx于是 0)(s inl im 2200?? ??? yxyxxyyx.)0,0(),( 也連續(xù)在從而 yxf即證明了 f(x, y)在 多元函數的基本概念 由于 22)(s i nyxyxxy??22)(yxyxxy???2yx ??)0,0(f?xOy面上處處連續(xù) . 證明 f( x, y)在 ????????????000)(s i n),(222222yxyxyxyxxyyxf設xOy面上處處連續(xù) ? 65 小結 多元函數的極限 多元函數連續(xù)性 有界閉區(qū)域上連續(xù)多元函數的性質 (與一元函數的極限加以比較 :注意相同點與差異 ) 多元函數的概念 多元函數的基本概念 預備知識 (內點 , 邊界點 , 聚點 , 開集 , 連通 , 區(qū)域 ) 66 若點 ),( yx 沿著無數多條平面曲線趨向于點 ),( 00 yx 時，函數 ),( yxf 都趨向于 A ，能否斷定 Ayxfyxyx??),(l i m),(),( 00？思考題 1 67 思考題解答 不能 . 例 ,)(),( 24223yxyxyxf?? )0,0(),( ?yx取 ,kxy ? 2442223)(),( xkxxkxkxxf???00?? ?? ?x但是 不存在 . ),(l i m)0,0(),( yxfyx ?原因為若取 ,2yx ? 244262)(),( yyyyyyf??.41?68 多元函數的基本概念 思考題 2 (是非題 ) ,)(),(l i m 0 ckyxfkxy ???? ?若),(lim00yxfyx??則 必定不存在 . 是 因為對不同的 k值 , )(),(lim 0 kyxfkxy ???? 不同 , ),(lim00yxfyx??故 不存在 . 69 作業(yè) 多元函數的基本概念 P264 4 P272 2（ 1）、 3（ 2）、 4（ 1） P277 4