高數(shù)微分學(xué)與中值定理-資料下載頁
2025-10-07 06:30本頁面
【正文】 ，有效距離增加 ． 如果 x=1000, △ x=1，則 231 0 . 6 9 3 4 1 0 0 0 1 0 . 0 0 2 3 2 . 33D k m m?? ? ? ? ? ? ?即對百萬級的核彈來說，每增加 1千噸的爆炸量，有效距離僅增加 ，相對效率反而下降了． 第四節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)與高階微分 高階導(dǎo)數(shù) 定義與計算 導(dǎo)函數(shù)也是函數(shù)，也有其瞬時變化率。所以還可以求其導(dǎo)數(shù)。比如說距離函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是速度函數(shù)，速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)便是加速度函數(shù)。對于原來的函數(shù)而言，其導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就被稱為原函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。只要可以，任意有限階的導(dǎo)數(shù)都可以自然引入。 為方便比較，原函數(shù)便被稱為自身的 0階導(dǎo)數(shù)。 符號的約定：微商形式與撇與上標(biāo)的記法；取值的記法。 【 例 237】 求函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù) 2l n ( 1 )y x x? ? ?.dydx【 例 238】 方程 e xe y=xy 確定了 y是 x的函數(shù)，求 220.xdydx ? 隱函數(shù)和參數(shù)形式的高階導(dǎo)數(shù)計算 這兩種形式的函數(shù)所得到的導(dǎo)函數(shù)依然是原來的形式 即隱函數(shù)或參數(shù)形式，所以求高階導(dǎo)，也就是繼續(xù)算下去。 【 例 239】 設(shè)函數(shù) y=y(x)由參數(shù)方程 2l n ( 1 )ar c t anxty t t? ???? ????確定，求 22 .dydx 利用參數(shù)形式得到的因變量 y與自變量 x之間的導(dǎo)函數(shù)，也還是參數(shù)表達(dá)形式。所以繼續(xù)求其導(dǎo)函數(shù)（ y對 x的變化率 這里不要混淆它們與參數(shù)的關(guān)系），無非是繼續(xù)利用參數(shù)求導(dǎo)公式。 【 例 240】 求指數(shù)函數(shù) y=e x的 n階導(dǎo)數(shù)． 【 例 241】 求正弦函數(shù) y=sinx與余弦函數(shù) y=cosx的 n階導(dǎo)數(shù)． 【 例 242】 求對數(shù)函數(shù) y=ln(1+x) (x1)的 n階導(dǎo)數(shù)． 基本初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)與萊布尼茨公式 （ 1） 基本初等函數(shù)在研究初等函數(shù)的微積分時，有基本的重要性，所以不僅要熟記它們的導(dǎo)數(shù)，也要熟悉這些函數(shù)的各階導(dǎo)函數(shù)。就像為了計算乘法和除法，需要熟記 99表一樣。 【 例 246】 設(shè) y=x 2 a 2x (a0,a≠1) ，求 y(20)． 【 例 243】 求冪函數(shù) y= 的 n階導(dǎo)數(shù)． 【 例 244】 求函數(shù) y=cos 2x 的 n階導(dǎo)數(shù)． 2132y xx? ?? 【 例 245】 求函數(shù) 的 n階導(dǎo)數(shù)． ?x?x（ 2） 求兩個函數(shù)乘積的高階導(dǎo) 萊布尼茨公式 求導(dǎo)與加減運(yùn)算可交換順序，其高階導(dǎo)公式很簡單。但是求導(dǎo)與乘積運(yùn)算并不可直接交換順序，所以求其高階導(dǎo)就不是那么直接。但是利用歸納法，可得一個在形式上與二項式定理類似的公式，即所謂萊布尼茨公式。 【 例 247】 設(shè) y=xe x 求 d2y． 高階微分 （ 1） 高階微分的定義與表示形式 （ 2） 意義：現(xiàn)在僅能給出一個粗略的說明。后面將會更為清晰。我們知道，一階微分是因變量的一個線性近似，相差一個自變量增量的高階無窮小。那么可以猜測這個高階無窮小應(yīng)該是 dx的二階無窮小，并且與函數(shù)的二階導(dǎo)有關(guān)。類似的，可以想到更高階的無窮小應(yīng)該具有 dx的 n次方的形式，并且也與函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)。 【 例 248】 設(shè)函數(shù) y=sin x 2 由函數(shù) y=sin u， u=x 2復(fù)合而來． （ 1）當(dāng) y=sin u 時，求 d 2 y． （ 2）當(dāng) y=sin x 2 時，求 d 2 y． 這個例子是想說明，二階微分已經(jīng)不具備微分形式不變性了。這是因?yàn)槭裁茨兀? 關(guān)鍵在于，當(dāng)以初始變量 x表示 y的二階微分的時候，在一階微分中，中間變量 u的微分 du 也是 x 的函數(shù)。這一點(diǎn)在以 u為自變量表示 y的二階微分時，不會表現(xiàn)出來。請注意這個差別。 【 例 249】 求 0( 2 )lim .s inxxxxx??? 【 例 250】 求 + ar c t an2l i m .1si nxxx??? 羅比塔（洛必達(dá)）法則 為了馬上看到高階導(dǎo)數(shù)的用處，這里提前給出一個應(yīng)用，即利用高階導(dǎo)數(shù)求極限。它可以使某些極限計算變得簡單。下面的求導(dǎo)法則，暫時還不能證明。需要后面的柯西中值定理。但是使用起來是很簡單的。 羅必塔法則的基本形式（定理給出 證明暫略） （ 2）無窮小替換法則與例題計算 （ a）介紹三對等價無窮?。?x、 arcsinx、 arctanx 以及 1 1 ~n xx n??xxx 5s in3t a nlim0? 11a r cs i n)1(lim 20 ???? xxxx（ b）例題（ 14 146），計算 （ 1）如函數(shù)在某點(diǎn)有極限，則在某局部區(qū)域（某個去心鄰域）上函數(shù)有界。 （ 2）局部區(qū)域保號性。 （ 3）海涅定理（函數(shù)極限的數(shù)列極限刻畫）。 海涅定理的一個應(yīng)用：重新證明本文 3. 注：教材中關(guān)于雙曲函數(shù)的內(nèi)容留作自學(xué)。
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