微分中值定理證明題-資料下載頁
2025-03-25 01:54本頁面
【正文】 使成立，而中要求是連續(xù)地趨于零。故由推不出13. 證明：成立。 證明：作輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)， 由拉格朗日定理知： 即：，因在內(nèi)單調(diào)遞減，故在內(nèi)單調(diào)遞增，故即： 即：。 注：利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先由不等式出發(fā)，選擇合適的函數(shù)及相應(yīng)的區(qū)間，然后驗(yàn)證條件，利用定理得 ，再根據(jù)在內(nèi)符號或單調(diào) 證明不等式。14. 證明：當(dāng)時。 證明：作輔助函數(shù) 則 故在上單調(diào)遞減，又因，在上連續(xù)， 故 =0，即：，即：。 注：利用單調(diào)性證明不等式是常用方法之一，欲證當(dāng)時， 常用輔助函數(shù)，則將問題轉(zhuǎn)化證，然后在上 討論的單調(diào)性，進(jìn)而完成證明。15. 證明：若二階可導(dǎo)，且，則在 內(nèi)單調(diào)遞增。證明：因，要證單調(diào)遞增，只需證， 即證。 設(shè)，則，因?yàn)? ，故是單調(diào)遞增函數(shù)，而，因此，即：， 即：，即當(dāng)時單調(diào)遞增。
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