微分中值定理及其應(yīng)用(大學(xué)畢業(yè)論文)-資料下載頁(yè)
2025-06-25 02:00本頁(yè)面
【正文】 分析：若能找到點(diǎn)，使，則要證的結(jié)論便轉(zhuǎn)化為變量的形式： ，則根據(jù) Lagrange 定理證之即可。然而對(duì)于的尋找，應(yīng)該從題目中條件的在開區(qū)間內(nèi)取到最大值入手?！纠?】 證明當(dāng)時(shí)，成立不等式分析：一般步驟是：①規(guī)范不等式，構(gòu)造②建立輔助函數(shù)及定義的區(qū)間③驗(yàn)證在上滿足拉格朗日中值定理④中值等式（不等式）證 , （）因?yàn)閒(x)在上可導(dǎo)，則由拉格朗日中值定理有，由于，且,所以從而 【例5】 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，且 (為常數(shù))，存在，使得。證明：證 因?yàn)?，所以至少存在一點(diǎn)，使得；至少存在一點(diǎn)，使得。從而對(duì)分別在和使用拉格朗日中值定理得：其中，所以即。9 微分中值定理的推廣羅爾(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西（Cauchy）中值定理，這三個(gè)定理都要求函數(shù)在上是連續(xù)，在內(nèi)是可導(dǎo)。那么我們?nèi)绻讯ɡ碇械拈]區(qū)間，把它推廣到無(wú)限區(qū)間或，再把開區(qū)間推廣到無(wú)限區(qū)間或的話，則這些定理是否還能滿足條件，或者我們能得出哪些相應(yīng)的定理呢？通過討論研究我們知道，按照以上的想法把中值定理的區(qū)間，推廣到無(wú)限區(qū)間上可以得到幾個(gè)相應(yīng)的定理，本文在此只提到其中的三個(gè)，下面給出定理以及證明[16]。 微分中值定理的推廣定理定理1 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則至少存在一點(diǎn)，使成立。證 令，則，即可得到關(guān)于參數(shù)函數(shù)當(dāng)時(shí)，則即，再令所以因?yàn)樗运栽谏线B續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由Rolle定理可得到至少存在一點(diǎn)，使成立令，有，而.所以，至少存在一點(diǎn)，使成立。定理2 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并且至少存在一點(diǎn)，使成立。定理2的證明可以參照定理1。定理3 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并且，則至少存在一點(diǎn)，使成立。證 設(shè)，則，即可得到關(guān)于參數(shù)函數(shù)當(dāng)時(shí)，則即，再令所以因?yàn)樗栽谏线B續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由Lagrange定理得至少存在一點(diǎn)，使成立即令，有，而，至少存在一點(diǎn)，使 成立.定理4 設(shè)、在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)，使證：設(shè)，由行列式性質(zhì)知,利用羅爾定理可得證。注：(1)若令并代入上式即得拉格朗日中值定理(2)若令而，展開即得柯西中值定理 微分中值定理的推廣定理的應(yīng)用對(duì)于中值定理推廣到無(wú)限區(qū)間上，在于求解一些題目，如果應(yīng)用了中值定理推廣會(huì)比較方便的得到解題，下面我們來看一個(gè)例子：【例1】 如果函數(shù)，求證：，使得。分析：對(duì)于該題目我們通常會(huì)采用這樣一種證法，令，有，即可得證。這種證明的方法，可以說是利用極限方法來證明的，我們現(xiàn)在考慮是否還可以運(yùn)用其它的方法來證明。若要運(yùn)用中值定理來證明是否可以呢？下面給出該方法。證 由題得在連續(xù)，在可導(dǎo)，且可得那么，由推廣定理的定理1，得到：，使得例 2 設(shè)在上可得，且，證明：，使得。證 問題相當(dāng)于要找，使因函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，故即又因?yàn)榧? 所以由定理2知，使得，即題目得證。結(jié)束語(yǔ)由上所述,我們發(fā)現(xiàn)微分中值定理的證明除了構(gòu)造輔助函數(shù),還可以利用其他的證明方法加以證明,利用微分中值定理還可以導(dǎo)出洛必達(dá)法則,(極值、最值、凹凸性)也要用到微分中值定理的結(jié)論. 深入研究微分中值定理,有助于加深對(duì)這些定理的理解。清楚這些定理的證明,能促使我們掌握微分中值定理的具體應(yīng)用.參考文獻(xiàn)[1](上、下冊(cè))[M].高等教育出版社，2000。[2][M].東京：朝倉(cāng)書店，1956。[3][M].卡伐列利出版社，1635。[4][M].圖魯斯出版社，1637。[5][J].常州工學(xué)院學(xué)報(bào). 2007,20(6):5862. [6]張珍珍，[J].九江學(xué)院學(xué)報(bào). 2007，(3)：109110.[7]齊春玲，[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版. 2007，28（5）：9697.[8][N].大眾科技. 2007，(97)：181183.[9][J].宜春學(xué)院學(xué)報(bào)(自然性科學(xué)). 2007，29(6):4647.[10][J].天津電大學(xué)報(bào). 2007：2527.[11]張?zhí)?，黃星，[J].南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào). 2007，7(4)：2326.[12]李經(jīng)文，漫話微積分史[J]，邵陽(yáng)師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2000，6：9091。[13]祁衛(wèi)紅，羅彩玲，微積分學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展[J]，山西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，[14]晏能中，微積分一數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑[J]，達(dá)縣師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，[15]劉旭浩，微積分發(fā)展簡(jiǎn)史[J]，衡水學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，1：1920。[16]李濤，漫談微積分的產(chǎn)生與發(fā)展[J]，湖南教育(教育綜合)，2006，6：6768。．致 謝時(shí)光荏苒，在大學(xué)的學(xué)習(xí)生活也即將結(jié)束，感慨萬(wàn)千，可更多的就是感動(dòng)。首先，對(duì)于我的導(dǎo)師熊駿教授，在這里我要發(fā)自肺腑地說一聲“謝謝!”。在這幾個(gè)月來，熊老師對(duì)于我的畢業(yè)論文花了很多時(shí)間進(jìn)行耐心地指導(dǎo)，從論文題目選定，論文設(shè)計(jì)和修改，直到最后論文的定稿，都傾注了很多心血。更重要的是熊老師在心理上和生活上對(duì)我的關(guān)懷照顧，我將銘刻于心，使我有了積極奮進(jìn)的信心。其次，我要感謝信息與數(shù)學(xué)學(xué)院的各位領(lǐng)導(dǎo)，老師，感謝他們對(duì)我學(xué)習(xí)的關(guān)心和幫助。最后，感謝我的家人，是他們給了我很大支持，使我能全身心的投入到學(xué)習(xí)中去，并最終能順利地完成學(xué)業(yè)。第20頁(yè)（共19頁(yè)）
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