21-微分中值定理-資料下載頁
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【正文】 若取 ( ) ,F x x?則 ( ) ( ) ,F b F a b a? ? ?( ) 1 .Fx? ?則 ()式變成 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 43 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,f b f a f b a a b???? ? ? ? ?即為拉格朗日中值定理． 是柯西中值定理的特殊情形． 可見拉格朗日中值定理 柯西定理的幾何意義 : 當(dāng)曲線由參數(shù)方程給出 ( ) , ,( ) ,x F t a t by f t? ???上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 44 ()F ?()Fa()()x F ty f t??? ??()fa()Fb()fbd ( )d ( )y f tx F t???注意 : xyo弦的斜率 切線斜率 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 45 例 14 驗(yàn)證柯西中值定理對(duì)于函數(shù) ( ) s inf x x?和 ( ) c o sg x x? 在區(qū)間 [ 0 , ]2?上的正確性． 解 易知 sinx 和 cosx 在閉區(qū)間 [0, ]2? 上連續(xù)，在 開區(qū)間 (0, )2? 內(nèi)可導(dǎo)，且 ( c o s ) s in 0 ( ( 0 , ) ) .2x x x ?? ? ? ? ?由 ( ) ( 0 )( ) 1 02 1,( ) 0 1( ) ( 0 )2fffg gg?????? ?? ? ? ?? ??上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 46 即 c os n?? ???取 ( 0 , ) ,42??? ?? 從而 ( ) ( 0 )() 2.() ( ) ( 0 )2fffg gg?????????上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 47 ( ) ( 1 ) ( ) , ( 1 , )( ) ( 1 ) ( )f e f f eF e F F? ???? ????例 15 試證至少存在一點(diǎn) 使 證 法 1 用柯西中值定理 . ( ) s in ln , ( ) ln ,f x x F x x??則 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件 , 令 因此 1c os ln1???即 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 48 法 2 令 ( ) s in lnf x x?則 f (x) 在 [ 1 , e ] 上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件 , 使 cos ln x()fx? ? sin1??1x因此存在 1x?s in 1 ln ,x??上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 49 且 試證存在 證 欲證 ( ) ( ) ,2ffab???????因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件 , 即要證 22( ) ( ) ( ) .2f b a fba?????? ??例 16 使 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 50 2( ) [ , ] ,f x x a b又 因 及 在 上 滿 足 柯 西 定 理 條 件將 ① 代入 ② , 化簡得 故有 ② ( ) ( ) ,2abff??????? , ( , )ab?? ?( ) ( ) ( ) ( ) , ( , )f b f a f b a a b???? ? ? ?故有 ① 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 51 例 17 分析 結(jié)論可變形為 ????? 332( ) ( ) ( )3baf b a f .???( ) [ , ] ,f x a b由 在 上 滿 足 拉 氏 中 值 定 理 的 條 件()a , b ,?? 在 內(nèi) 至 少 存 在 一 點(diǎn) 有? ??( ) ( ) = ( ) ( )f b a f b f a? :即 結(jié) 論 變 為 證 明222( ) [ , ] , ( , ) ,0 . : , ( , ) ,()( ) = ( ) .3f x a b a ba b a bff a ab b?????? ? ??? ??設(shè) 函 數(shù) 在 上 連 續(xù) 在 內(nèi) 可 導(dǎo)證 明 至 少 存 在 點(diǎn) 使上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 52 注 用中值定理證明等式及不等式 , 方法靈活 , 除了熟悉定理的條件 , 結(jié)論外 , 還需掌握一些 常見的證明方法 . 有時(shí)需要多次運(yùn)用不同的 定理才能得到結(jié)論 . 3 3 2( ) ( ) ( )3f b f a f .ba???? ??即3( ) , y f x y x a b??對(duì) 函 數(shù) 在 區(qū) 間 [ , ] 應(yīng) 用 柯 西中 值 定 理 即 得 上 式 .332( ) ( ) ( ) .3ba, f b f a f???? ???存 在 使上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 53 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系 羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 ( ) ( )f b f a?()F x x?( ) ( )f b f a?()F x x?四、小結(jié) 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 54 作 業(yè)
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