微分中值定理的推廣及其應(yīng)用畢業(yè)論文-資料下載頁
2025-06-25 16:20本頁面
【正文】 ,必有,從而與已知矛盾,成立.例11 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在,使得 .證明 若不存在,則,從而單調(diào)遞增，又由于滿足羅爾定理,則存在使得,又有,所以,存在使得 .例12 設(shè),.證明 當(dāng)時,結(jié)論顯然成立.當(dāng)時,取或,在該區(qū)間上,設(shè),根據(jù)柯西定理,有,或,即。當(dāng)時,，即。又有,所以.當(dāng)時, ,所以,.由此,不等式得證. 討論方程根的存在性注意到在中值定理中有,令,這樣就可以利用中值定理討論方程的根的存在性.例13 設(shè)為任意個實數(shù),證明函數(shù)在必有零點.證明 作輔助函數(shù),則,容易驗證在上連續(xù),在可導(dǎo),且 ,所以存在使得,在必存在零點. 例14 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo),則的兩個零點間一定存在的零點. 證明 (采用羅爾定理),則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,由羅爾定理,存在,使得,即 ,而,故有,即的兩個零點間一定存在的零點.例15 證明:若,則多項式在內(nèi)至少有一個實根.證明 令則,又有在連續(xù)可導(dǎo),且,滿足羅爾定理的條件,故存在使得即,結(jié)論得證.例16 若函數(shù)在上非負(fù),且三階可導(dǎo),.證明 因為方程在內(nèi)有兩個不同的實根,設(shè)其分別為所以,又由于非負(fù)，根據(jù)極值定義可以知道為的兩個極值點,所以有又因為滿足羅爾定理，所以存在使得 ,又三階可導(dǎo)，所以滿足羅爾定理,即存在,使得 ,同樣滿足羅爾定理,則存在使得.證畢.例17 設(shè),則方程在內(nèi)有解.證明 將待證問題轉(zhuǎn)化為中值問題:存在使得,即,根據(jù)柯西中值定理直接得證,即方程在內(nèi)有解.例18 若函數(shù)在可導(dǎo),對與之間的任意數(shù),則在內(nèi)至少存在一點,使得.證明 .作輔助函數(shù) , 與,即與 .由極限保號性,存在,使得,從而,.存在,使得 ,從而, .于是,有,即.結(jié)束語由上所述,我們發(fā)現(xiàn)微分中值定理的證明除了構(gòu)造輔助函數(shù),還可以利用其他的證明方法加以證明,利用微分中值定理還可以導(dǎo)出洛必達(dá)法則,(極值、最值、凹凸性)也要用到微分中值定理的結(jié)論. 深入研究微分中值定理,有助于加深對這些定理的理解。清楚這些定理的證明,能促使我們掌握微分中值定理的具體應(yīng)用.參考文獻(xiàn)[1] [M] 高等教育出版社 2003[2] [J].消費導(dǎo)刊時空教育 . 2009(02) 166[3] 童蓓蕾。胡燕. 微分中值定理證法的改進(jìn)[J]. (07) 151[4] 李陽。 郝佳. 微分中值定理的延伸及應(yīng)用[J]. 遼寧師專學(xué)報. 2011（01）68[5] 張曉彥。 刁光成. 微分中值定理的推廣[J]. 科技天地. 2009(34) 3132[6] 朱美玉. 微分中值定理的進(jìn)一步探討[J]. 湖北廣播電視大學(xué)學(xué)報. 2009(08) 158159[7] 邢建平。 徐湘云. 微分中值定理的解題應(yīng)用[J].中小企業(yè)管理與科技(上旬刊). 2010(08) 158[8] 胡適耕，：定理問題方法[M].科學(xué)教育出版社 2007致謝在論文的寫作過程中，我得到了很多熱心人的幫助，特別是感謝宋老師以及給與我悉心的指導(dǎo)的朋友們，并引導(dǎo)我翻閱了大量的書籍，對論文進(jìn)行了多次、，都使我受益匪淺，在此謹(jǐn)向宋老師致以衷心的
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