微積分基本定理及應(yīng)用畢業(yè)論文-資料下載頁
2025-06-20 05:31本頁面
【正文】 其功能非常強(qiáng)大,下面我們將其應(yīng)用到平面曲線積分和空間曲線積分中,使得這兩類積分的計(jì)算大為簡化. 引理3 設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)連續(xù)，有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若在D內(nèi)每一點(diǎn)處有則 1）是D內(nèi)某一個(gè)二元函數(shù)的全微分，即 在D內(nèi)有 2）的原函數(shù)有無窮多，即如果、為 的任意兩個(gè)原函數(shù)，則，其中為任意實(shí)數(shù). 證明 1） 設(shè)為D內(nèi)的某定點(diǎn)，為D內(nèi)任意一點(diǎn)，由已知條件，在D內(nèi)每一點(diǎn)處有可以知道曲線積分與路徑選擇無關(guān)，故當(dāng)在D內(nèi)變動(dòng)時(shí)，其積分值是點(diǎn)的函數(shù)，即有.取充分小，使點(diǎn),函數(shù)對(duì)的偏增量 .因?yàn)樵贒內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)，所以 對(duì)上式右端應(yīng)用積分中值定理得： 又由在D上的連續(xù)性，可以推得： 同理可得： 于是有： 2）設(shè)，因?yàn)?、均為的原函?shù)，所以 所以 從而,即 定理13 設(shè)函數(shù)在平面單連通區(qū)域內(nèi)連續(xù)，有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是的任一原函數(shù)，若在D內(nèi)每一點(diǎn)處有，則： 證明 由上述引理知，是的原函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， （1）當(dāng)時(shí)， （2） 又 （3）將（1）、（3）代入（2）得： . 例11 計(jì)算. 解 在任何不包含原點(diǎn)的平面區(qū)域內(nèi)，均連續(xù)，有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且所以 故.4 小結(jié) 牛頓—萊布尼茨公式實(shí)際上就是把在區(qū)間上的定積分變?yōu)楹瘮?shù)沿邊界（端點(diǎn)）的函數(shù)值的差，類似在中給出了格林公式：奧高公式：斯托克斯公式： ， 都是將某區(qū)域（區(qū)間，平面區(qū)域，空間區(qū)域，曲面）上的積分化為其邊界上的積分，所以，可以把上述公式統(tǒng)一成為：即：階外微分形式在維區(qū)域所圍的維區(qū)域上的積分等于階外微分形式在維區(qū)域上的積分。 綜上所述知，積分是微分的積累，微分是積分的分解，例如本文中的例1即可解釋這一問題。積分與微分其實(shí)是同一個(gè)量（原函數(shù)的增量）的整體形勢與局部形式，是整體與局部的關(guān)系，這是積分與微分的最基本的關(guān)系。雖然從牛頓一萊布尼茲公式的表面看，該公式反映的是一元函數(shù)積分與微分之間的基本關(guān)系，但事實(shí)上整個(gè)微積分上都是微分與積分的關(guān)系，面由線組成，體由面組成與線由點(diǎn)組成一樣，都是整體與局部的關(guān)系。因此，二重積分與定積分、三重積分與二重積分也可以說是積分與微分的關(guān)系，這種觀點(diǎn)一直可以推廣到高維空間。所以，無論是積分與微分的關(guān)系，還是高維空間積分與低維空間積分之問的關(guān)系都包含在這個(gè)定理之中，也即拓展了微積分基本定理的應(yīng)用。 總而言之，牛頓一萊布尼茲公式確實(shí)是名副其實(shí)的整個(gè)微積分的基本定理，是微積分理論的基礎(chǔ)，特別是積分學(xué)理論的基礎(chǔ)。 參考文獻(xiàn)[1] [M].北京:高等教育出版社，2011. [2] (上、下冊(cè)）[M].北京:高等教育出版社，2001. [3] [J].承德民族師專學(xué)報(bào)，1995，[4] [M].北京:中國教育文化出版社 ,2006.[5] 劉浩榮，[M].上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,2009. [6] [M].北京:高等教育出版社，2004. [7] [J].大理學(xué)院學(xué)報(bào),1982. [8] [J].教學(xué)月刊( 中學(xué)版),2008.[9] 湯澤瀅，周敏，[J]．?dāng)?shù)學(xué)理論與應(yīng)用，1999.[10] [J].西華大學(xué)學(xué)報(bào),2005.[11] [J].濰坊學(xué)院學(xué)報(bào)，2001．[12] [J].洛陽大學(xué)學(xué)報(bào)，1996. [13] 張若峰．牛頓一萊布尼茲公式在平面曲線積分和空間曲線積分中的應(yīng)用[J]．河西學(xué)院學(xué)報(bào)，2004. 致 謝感謝江西師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)學(xué)院對(duì)我這幾年的培養(yǎng)！在論文創(chuàng)作過程中，很感謝我的導(dǎo)師胡譽(yù)滿教授對(duì)我的悉心指導(dǎo)，是您的細(xì)心指導(dǎo)和關(guān)懷，使我能夠順利的完成畢業(yè)論文。在我的學(xué)業(yè)和論文的研究工作中無不傾注著老師辛勤的汗水和心血，老師的嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)態(tài)度、淵博的知識(shí)、無私的奉獻(xiàn)精神使我深受啟迪，讓我明白論文創(chuàng)作要細(xì)心要認(rèn)真對(duì)待，也堅(jiān)定地明白數(shù)學(xué)需要高度的邏輯性與緊密性，以及創(chuàng)造性等新穎的觀點(diǎn)，也讓我提高了很多數(shù)學(xué)技術(shù)上的水平，同時(shí)，也感謝我的那些好朋友在我的論文過程中對(duì)我的一些幫助。從尊敬的導(dǎo)師身上，我不僅學(xué)到了扎實(shí)、寬廣的專業(yè)知識(shí)，也學(xué)到了做人的道理。在此，我要向我的導(dǎo)師致以最衷心的感謝和深深的敬意。17
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