【正文】 知 0)(39。 ?cf ， 這樣有 0)()()( 39。39。39。 ??? cfbfaf . 由羅爾定理知存 在 ? ? ? ?bcca , 21 ?? ?? ， 使得 0)()( 239。39。139。39。 ?? ?? ff （ 2） 由（ 2），再用羅爾定理知 ? ? ? ?ba ,213 ??? ??? ， ， 有 0)( 339。39。39。 ??f 因此方程 ? ?baxf ,0)(39。39。39。 在? 內(nèi)有一個(gè)根存在 . 定理在證明函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用 我們?cè)谘芯亢瘮?shù)在區(qū)間上的性質(zhì)時(shí)，可以先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)它的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì) .為此，拉格朗日中值定理在這方面的應(yīng)用也是很重要的 .下面，我們給出一個(gè)例題 ，來(lái)更好的說(shuō)明該定理的具體應(yīng)用 . 例 8 設(shè)函數(shù) )(xf 在 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo) ， 并且 )(xf 的導(dǎo)數(shù) ? ?baxf ,)(39。 在 內(nèi)有界 ， 證明 ： )(xf 在 ? ?ba, 有界 . 證明：取定 ? ? ? ? MxfMbaxbax ?????? )(,0, 39。0 ， 則對(duì)于 ? ?bax ,?? ， 德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2021屆 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 14 )()())(()()(0039。0 abMxfxxfxfxf ?????? ? 則根據(jù)上面的不等式，則證明了 )(xf 在 ? ?ba, 有界 . 定理在導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用 函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有著密切的聯(lián)系，我們?cè)谘芯繉?dǎo)函數(shù)的時(shí)候，可以利用研究函數(shù)的定理、方法，對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行研究 .下面給出可以利用拉朗日中值定理研究導(dǎo)函數(shù)的例子 . 例 9[8] 設(shè)函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ? ?1,0 上二階可導(dǎo) ，當(dāng) 10 ??x 時(shí)，恒有 1)( ?xf , 2)(39。39。 ?xf .證明 ： 當(dāng) 3)(,10 39。 ??? xfx . 證明： 239。39。39。 )1(2 )()1)(()()1( xfxxfxff ????? ? （ 1） 22 )(39。39。))((39。)()0( xfxxfxff ????? （ 2） 由（ 1） （ 2）得， 239。39。239。39。39。 2 )()1(2 )()0()1()( xfxfffxf ?? ????? 注意到 xxxxxxx ??????????? 22 ,10,1)1(,110,10 3)1(11)( 2239。 ??????? xxxf 成立 . 例 10 證明 :若函數(shù) 在)(xf 有限區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo) ， 但無(wú)界 ， 則其導(dǎo)函數(shù) )(39。 xf在 ? ?ba, 內(nèi)亦必?zé)o界 . 證明：用反證法 .設(shè) )(39。 xf 在 ? ?ba, 內(nèi)有界 ， 即 MxfM ??? )(,0 39。使 ，? ?bax ,?? . ? ?bax ,0 ?? ， 再由有限增量公式 ? ?xxxxfxfxf ,),)(()()( 0039。0 ???? ?? ? ?baxcabMxfxxfxfxf ,)()()()()( 0039。0 ??????????? ? 其中 c 是常數(shù) ， 這與 )(xf 無(wú)界的假設(shè)矛盾 ， 即導(dǎo)函數(shù) )(39。 xf 在 ? ?ba, 內(nèi)亦必?zé)o界 . 德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2021屆 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 15 5 結(jié)束語(yǔ) 本文從數(shù)學(xué) 分析中幾個(gè)比較常用的方法出發(fā)，解釋了拉格朗日中值定理的含義，并總結(jié)了拉格朗日中值定理的證明方法，又從高等數(shù)學(xué)中比較常用的幾個(gè)方面，概述了拉格朗日中值定理的一些重要應(yīng)用，以便使讀者能夠更好的理解和掌握拉格朗日中值定理 .鑒于拉格朗日中值定理的應(yīng)用是一個(gè)非常龐大的、復(fù)雜的研究課題，并且因?yàn)槲易陨砝碚?、能力等諸多方面的不足，造成本文當(dāng)中還有很多不足和無(wú)法涉及到的方面和內(nèi)容，對(duì)于本文對(duì)拉格朗日中值定理的應(yīng)用的某些相關(guān)論述所產(chǎn)生的不可避免的諸多不足、漏洞，懇請(qǐng)各位老師予以批評(píng)改正，以使學(xué)生能夠更好地進(jìn)步 . 參考 文獻(xiàn)： [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析（第三版）上冊(cè) [M].北京：高等教育出版社， 2021. [2]周煥芹 .淺談中值定理在解題中的應(yīng)用 [J].高等數(shù)學(xué)研究， 1999,2(3):3032. [3] Theory(2nd)[J].Peacock Press,1986,66. [4]于慶紅 .中值定理的應(yīng)用討論 [J].西安航空技術(shù)高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)， 2021（ 2）： 3436. [5]裴禮文 .數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法 [M].北京：高等教育出版社， 2021. [6]錢(qián)吉林 .數(shù)學(xué)分析習(xí)題精粹 [M].武漢：湖北長(zhǎng)江出版集團(tuán)， 2021. [7]韓應(yīng)華，姚桂平等 .微分中值定理的應(yīng)用及推光 [J].內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2021(9):2530. [8]朱智和 .微分中值定理在解題中的若干應(yīng)用 [J].紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2021(12):4651. [9]沈樹(shù)民 .微積分解題分析上 [M].南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社， 2021. [10]劉坤林，譚澤光 .大學(xué)數(shù)學(xué)概念、方法與技巧 [M].北京：清華大學(xué)出 版社， 2021. [11]G波利亞 .怎樣解題 數(shù)學(xué) [M].上海：上海科技教育出版社， 2021. The application of Lagrange formulation principle Sun Yanan （ Science of Mathematics College of Dezhou university, Dezhou city in Shandong province 253023） Abstract: Lagrange Median Theory is one of foundational theories in Infinitesimal calculus, and it is the important bridge between function and differential coefficient. Though analyzing further characters of the theory, the page has got a more profound cognition, and founding a assistant function to prove the rationality of Lagrange Theory. Based on the theory, we summarize several applications, among of which the theory is applied widely, for instance, evaluating limit value, proving inequality and equality, testifying convergence and the existence of the root. Key words: Lagrange median theory。 assistant function。 limit value。 convergence。 the existence of the root 德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2021屆 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 16