【正文】 知 0)(39。 ?cf ， 這樣有 0)()()( 39。39。39。 ??? cfbfaf . 由羅爾定理知存 在 ? ? ? ?bcca , 21 ?? ?? ， 使得 0)()( 239。39。139。39。 ?? ?? ff （ 2） 由（ 2），再用羅爾定理知 ? ? ? ?ba ,213 ??? ??? ， ， 有 0)( 339。39。39。 ??f 因此方程 ? ?baxf ,0)(39。39。39。 在? 內(nèi)有一個根存在 . 定理在證明函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用 我們在研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)時，可以先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)它的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，來研究函數(shù)的性質(zhì) .為此，拉格朗日中值定理在這方面的應(yīng)用也是很重要的 .下面，我們給出一個例題 ，來更好的說明該定理的具體應(yīng)用 . 例 8 設(shè)函數(shù) )(xf 在 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo) ， 并且 )(xf 的導(dǎo)數(shù) ? ?baxf ,)(39。 在 內(nèi)有界 ， 證明 ： )(xf 在 ? ?ba, 有界 . 證明：取定 ? ? ? ? MxfMbaxbax ?????? )(,0, 39。0 ， 則對于 ? ?bax ,?? ， 德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2021屆 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 14 )()())(()()(0039。0 abMxfxxfxfxf ?????? ? 則根據(jù)上面的不等式，則證明了 )(xf 在 ? ?ba, 有界 . 定理在導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用 函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有著密切的聯(lián)系，我們在研究導(dǎo)函數(shù)的時候，可以利用研究函數(shù)的定理、方法，對導(dǎo)函數(shù)進行研究 .下面給出可以利用拉朗日中值定理研究導(dǎo)函數(shù)的例子 . 例 9[8] 設(shè)函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ? ?1,0 上二階可導(dǎo) ，當(dāng) 10 ??x 時，恒有 1)( ?xf , 2)(39。39。 ?xf .證明 ： 當(dāng) 3)(,10 39。 ??? xfx . 證明： 239。39。39。 )1(2 )()1)(()()1( xfxxfxff ????? ? （ 1） 22 )(39。39。))((39。)()0( xfxxfxff ????? （ 2） 由（ 1） （ 2）得， 239。39。239。39。39。 2 )()1(2 )()0()1()( xfxfffxf ?? ????? 注意到 xxxxxxx ??????????? 22 ,10,1)1(,110,10 3)1(11)( 2239。 ??????? xxxf 成立 . 例 10 證明 :若函數(shù) 在)(xf 有限區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo) ， 但無界 ， 則其導(dǎo)函數(shù) )(39。 xf在 ? ?ba, 內(nèi)亦必?zé)o界 . 證明：用反證法 .設(shè) )(39。 xf 在 ? ?ba, 內(nèi)有界 ， 即 MxfM ??? )(,0 39。使 ，? ?bax ,?? . ? ?bax ,0 ?? ， 再由有限增量公式 ? ?xxxxfxfxf ,),)(()()( 0039。0 ???? ?? ? ?baxcabMxfxxfxfxf ,)()()()()( 0039。0 ??????????? ? 其中 c 是常數(shù) ， 這與 )(xf 無界的假設(shè)矛盾 ， 即導(dǎo)函數(shù) )(39。 xf 在 ? ?ba, 內(nèi)亦必?zé)o界 . 德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2021屆 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 15 5 結(jié)束語 本文從數(shù)學(xué) 分析中幾個比較常用的方法出發(fā)，解釋了拉格朗日中值定理的含義，并總結(jié)了拉格朗日中值定理的證明方法，又從高等數(shù)學(xué)中比較常用的幾個方面，概述了拉格朗日中值定理的一些重要應(yīng)用，以便使讀者能夠更好的理解和掌握拉格朗日中值定理 .鑒于拉格朗日中值定理的應(yīng)用是一個非常龐大的、復(fù)雜的研究課題，并且因為我自身理論、能力等諸多方面的不足，造成本文當(dāng)中還有很多不足和無法涉及到的方面和內(nèi)容，對于本文對拉格朗日中值定理的應(yīng)用的某些相關(guān)論述所產(chǎn)生的不可避免的諸多不足、漏洞，懇請各位老師予以批評改正，以使學(xué)生能夠更好地進步 . 參考 文獻： [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析（第三版）上冊 [M].北京：高等教育出版社， 2021. [2]周煥芹 .淺談中值定理在解題中的應(yīng)用 [J].高等數(shù)學(xué)研究， 1999,2(3):3032. [3] Theory(2nd)[J].Peacock Press,1986,66. [4]于慶紅 .中值定理的應(yīng)用討論 [J].西安航空技術(shù)高等?？茖W(xué)校學(xué)報， 2021（ 2）： 3436. [5]裴禮文 .數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 [M].北京：高等教育出版社， 2021. [6]錢吉林 .數(shù)學(xué)分析習(xí)題精粹 [M].武漢：湖北長江出版集團， 2021. [7]韓應(yīng)華，姚桂平等 .微分中值定理的應(yīng)用及推光 [J].內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報，2021(9):2530. [8]朱智和 .微分中值定理在解題中的若干應(yīng)用 [J].紹興文理學(xué)院學(xué)報，2021(12):4651. [9]沈樹民 .微積分解題分析上 [M].南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社， 2021. [10]劉坤林，譚澤光 .大學(xué)數(shù)學(xué)概念、方法與技巧 [M].北京：清華大學(xué)出 版社， 2021. [11]G波利亞 .怎樣解題 數(shù)學(xué) [M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?， 2021. The application of Lagrange formulation principle Sun Yanan （ Science of Mathematics College of Dezhou university, Dezhou city in Shandong province 253023） Abstract: Lagrange Median Theory is one of foundational theories in Infinitesimal calculus, and it is the important bridge between function and differential coefficient. Though analyzing further characters of the theory, the page has got a more profound cognition, and founding a assistant function to prove the rationality of Lagrange Theory. Based on the theory, we summarize several applications, among of which the theory is applied widely, for instance, evaluating limit value, proving inequality and equality, testifying convergence and the existence of the root. Key words: Lagrange median theory。 assistant function。 limit value。 convergence。 the existence of the root 德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2021屆 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 16