【正文】 知 0)(39。 ?cf ， 這樣有 0)()()( 39。39。39。 ??? cfbfaf . 由羅爾定理知存 在 ? ? ? ?bcca , 21 ?? ?? ， 使得 0)()( 239。39。139。39。 ?? ?? ff （ 2） 由（ 2），再用羅爾定理知 ? ? ? ?ba ,213 ??? ??? ， ， 有 0)( 339。39。39。 ??f 因此方程 ? ?baxf ,0)(39。39。39。 在? 內(nèi)有一個根存在 . 定理在證明函數(shù)性質(zhì)中的應用 我們在研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)時，可以先對函數(shù)求導，根據(jù)它的導數(shù)的性質(zhì)，來研究函數(shù)的性質(zhì) .為此，拉格朗日中值定理在這方面的應用也是很重要的 .下面，我們給出一個例題 ，來更好的說明該定理的具體應用 . 例 8 設函數(shù) )(xf 在 ? ?ba, 內(nèi)可導 ， 并且 )(xf 的導數(shù) ? ?baxf ,)(39。 在 內(nèi)有界 ， 證明 ： )(xf 在 ? ?ba, 有界 . 證明：取定 ? ? ? ? MxfMbaxbax ?????? )(,0, 39。0 ， 則對于 ? ?bax ,?? ， 德州學院 數(shù)學科學學院 2021屆 數(shù)學與應用數(shù)學 畢業(yè)論文 14 )()())(()()(0039。0 abMxfxxfxfxf ?????? ? 則根據(jù)上面的不等式，則證明了 )(xf 在 ? ?ba, 有界 . 定理在導函數(shù)性質(zhì)中的應用 函數(shù)與導函數(shù)有著密切的聯(lián)系，我們在研究導函數(shù)的時候，可以利用研究函數(shù)的定理、方法，對導函數(shù)進行研究 .下面給出可以利用拉朗日中值定理研究導函數(shù)的例子 . 例 9[8] 設函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ? ?1,0 上二階可導 ，當 10 ??x 時，恒有 1)( ?xf , 2)(39。39。 ?xf .證明 ： 當 3)(,10 39。 ??? xfx . 證明： 239。39。39。 )1(2 )()1)(()()1( xfxxfxff ????? ? （ 1） 22 )(39。39。))((39。)()0( xfxxfxff ????? （ 2） 由（ 1） （ 2）得， 239。39。239。39。39。 2 )()1(2 )()0()1()( xfxfffxf ?? ????? 注意到 xxxxxxx ??????????? 22 ,10,1)1(,110,10 3)1(11)( 2239。 ??????? xxxf 成立 . 例 10 證明 :若函數(shù) 在)(xf 有限區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)可導 ， 但無界 ， 則其導函數(shù) )(39。 xf在 ? ?ba, 內(nèi)亦必無界 . 證明：用反證法 .設 )(39。 xf 在 ? ?ba, 內(nèi)有界 ， 即 MxfM ??? )(,0 39。使 ，? ?bax ,?? . ? ?bax ,0 ?? ， 再由有限增量公式 ? ?xxxxfxfxf ,),)(()()( 0039。0 ???? ?? ? ?baxcabMxfxxfxfxf ,)()()()()( 0039。0 ??????????? ? 其中 c 是常數(shù) ， 這與 )(xf 無界的假設矛盾 ， 即導函數(shù) )(39。 xf 在 ? ?ba, 內(nèi)亦必無界 . 德州學院 數(shù)學科學學院 2021屆 數(shù)學與應用數(shù)學 畢業(yè)論文 15 5 結束語 本文從數(shù)學 分析中幾個比較常用的方法出發(fā)，解釋了拉格朗日中值定理的含義，并總結了拉格朗日中值定理的證明方法，又從高等數(shù)學中比較常用的幾個方面，概述了拉格朗日中值定理的一些重要應用，以便使讀者能夠更好的理解和掌握拉格朗日中值定理 .鑒于拉格朗日中值定理的應用是一個非常龐大的、復雜的研究課題，并且因為我自身理論、能力等諸多方面的不足，造成本文當中還有很多不足和無法涉及到的方面和內(nèi)容，對于本文對拉格朗日中值定理的應用的某些相關論述所產(chǎn)生的不可避免的諸多不足、漏洞，懇請各位老師予以批評改正，以使學生能夠更好地進步 . 參考 文獻： [1]華東師范大學數(shù)學系 .數(shù)學分析（第三版）上冊 [M].北京：高等教育出版社， 2021. [2]周煥芹 .淺談中值定理在解題中的應用 [J].高等數(shù)學研究， 1999,2(3):3032. [3] Theory(2nd)[J].Peacock Press,1986,66. [4]于慶紅 .中值定理的應用討論 [J].西安航空技術高等專科學校學報， 2021（ 2）： 3436. [5]裴禮文 .數(shù)學分析中的典型問題與方法 [M].北京：高等教育出版社， 2021. [6]錢吉林 .數(shù)學分析習題精粹 [M].武漢：湖北長江出版集團， 2021. [7]韓應華，姚桂平等 .微分中值定理的應用及推光 [J].內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學學報，2021(9):2530. [8]朱智和 .微分中值定理在解題中的若干應用 [J].紹興文理學院學報，2021(12):4651. [9]沈樹民 .微積分解題分析上 [M].南京：江蘇科學技術出版社， 2021. [10]劉坤林，譚澤光 .大學數(shù)學概念、方法與技巧 [M].北京：清華大學出 版社， 2021. [11]G波利亞 .怎樣解題 數(shù)學 [M].上海：上海科技教育出版社， 2021. The application of Lagrange formulation principle Sun Yanan （ Science of Mathematics College of Dezhou university, Dezhou city in Shandong province 253023） Abstract: Lagrange Median Theory is one of foundational theories in Infinitesimal calculus, and it is the important bridge between function and differential coefficient. Though analyzing further characters of the theory, the page has got a more profound cognition, and founding a assistant function to prove the rationality of Lagrange Theory. Based on the theory, we summarize several applications, among of which the theory is applied widely, for instance, evaluating limit value, proving inequality and equality, testifying convergence and the existence of the root. Key words: Lagrange median theory。 assistant function。 limit value。 convergence。 the existence of the root 德州學院 數(shù)學科學學院 2021屆 數(shù)學與應用數(shù)學 畢業(yè)論文 16