【正文】 如果函數(shù) f 滿足如下條件： （ 1） f 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)； （ 2） f 在開區(qū)間 ),( ba 上可導(dǎo)； 則在 ),( ba 上至少存在一點(diǎn) ? ，使得 ? ? ? ? ? ?ba bfaff ????39。 ?f 與 ? ? ? ?ba bfaf ??值相等且在開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)存在的點(diǎn)，? ? ? ?ba bfafxf ???)(39。 ?f 是過(guò)曲線上一點(diǎn) ? ?? ??? f, 的切線的斜率 .那么，定理就可解釋為在曲線 ? ?xfy? 上至少存在一條平行于 AB 的切線 . 拉格朗日中值定理的推廣 為了更深刻的研究拉格朗日中值定理，下面我們給出拉格朗日中值定理的幾個(gè)推廣及其推論 . 柯西中值定理 [1] 設(shè)函數(shù) f 和 g 滿足 （ 1）在 ],[ ba 上都連續(xù)： （ 2）在開區(qū)間 ),( ba 上可導(dǎo)； （ 3） ??xf39。 不同時(shí)為零； （ 4） )()( bgag ? ， 則存在 ? ?ba,?? ，使得 )()( )()()( )(39。bgag bfafgf ????? 根據(jù)柯西中值定理，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng) xxg ?)( 時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理了 . 德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2021屆 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 4 泰勒定理 [1] 若函數(shù) f 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上存在直至 n 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在 ? ?ba, 上存在 ? ?1?n 階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的 ? ?baxx , 0? ，至少存在一點(diǎn) ? ?ba,?? ，使得 ? ?? ? ? ?101002000039。10),()()()(。39。????????????????????????hhafafhafababafafbfbaabfafbf 下面我們給出拉格朗日中值定理的推論，以及相應(yīng)的證明 . 推論 1 若函數(shù) f 在區(qū)間 I 上可導(dǎo)，且 0)(39。12 ???? xxfxfxf ? 因?yàn)?IIxxf ??? ?,0)(39。 ??f ，即 )()( 21 xfxf ? 又因?yàn)?Ixx ?21, 的任意性 ， 則函數(shù) )(xf 在區(qū)間 I 是一個(gè)常量函數(shù) . 推論 2 若函數(shù) f 和 g 均在區(qū)間 I 上可導(dǎo)，且 Ixxgxf ?? ),()( 39。 ，則在區(qū)間 I上 f 與 g 只相差某一常數(shù)，即 )()()( 是某一常數(shù)ccxgxf ?? 推論 3 （導(dǎo)數(shù)極限定理）設(shè)函數(shù) f 在點(diǎn) 0x 的某鄰域 )(0xU 上連續(xù)，在 )( 00 xU德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2021屆 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 5 內(nèi)可導(dǎo)，且極限 )(lim 39。039。 xf? . 設(shè)函數(shù) f 在點(diǎn) 0x 的某個(gè)左鄰域 )(0xU 內(nèi)有定義， 若極限00)(lim0 xxxfxfxx ????）（ 存在，則稱此極限值為 f 在點(diǎn) 0x 處的左導(dǎo)數(shù)，記作 )( 039。00 ?fxx xfxf ??? 由于 xx ???0 ，因此當(dāng) ?? ?? 00 xxx ?時(shí)，隨之有 ，對(duì)上式兩邊取極限，便得 )()0()(l i m)(l i m039。39。039。0存在，所以 kxfxf ???? )0()0( 039。 ，從而kxfxf ?? ?? )()( 039。 ，即 kxf ?)( 039。39。39。 ? . 區(qū)間套定理證明法 [4] 在用區(qū)間套證明拉格朗日中值定理時(shí)，我們先給出能用的三個(gè)引理，及其相應(yīng)的證明 . 引理 1： 設(shè)函數(shù) f 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，且滿足 )()( bfaf ? ，則存在一閉區(qū)間 ? ? ? ?ba, ??? ，使得 2ab????? 且 )()( ?? ff ? 證：設(shè)函數(shù) ? ? )()2( xfabxfx ????? 且 ?????? ?? 2, baax 德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2021屆 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 7 根據(jù)已知函數(shù) ??x? 在區(qū)間 ?????? ?2, baa上連續(xù)，且 ? ? )()2()()2( afbafafabafa ???????? )()2()()2()22()2( abafbfbafabbafba ?? ???????????? 若 )2()( bafaf ??，則由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性定理，存在一點(diǎn)?????? ?? 2, baa? ，使得 ? ? 0)()2( ????? ???? fabf 則可以令 2, ab ???? ???? 故存在一閉區(qū)間 ? ? ? ?ba, ??? ，使得 )()(,2 ???? ffab ???? 且 引理 2: 設(shè) f 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，則存在 ? ? ? ?ba, ??? ，使得 2ab?????且 ? ?ab afbfff ????? )()()(?? ?? 證明：令 ? ? ab afbfxxfxF ????? )()(,)( ?? 顯然 )(xF 在 ? ?ba, 上連續(xù)且 )()( bFaF ? 因此，我們由引理 1可以得出，存在 ? ? ? ?ba, ??? ，使得 2ab????? 且)()( ?? FF ? 即 ?????? ??? )()( ff 所以 ??? ?? ?????? ab afbfff )()()()( 引理 3： 若函數(shù) f 在 ),( ba 內(nèi)一點(diǎn) 0x 可導(dǎo)，對(duì)任意兩個(gè)數(shù)列 ? ?? ?nn ?? , ，該兩數(shù)列滿足 nn x ?? ?? 0 ，且0limlim xnnnn ?? ???? ??，則 ? ?039。3,2,1 ??? ） 滿足 （ 1） )3,2,1(2 ????? nabnnn ?? （ 2） ? ? ? ? )3,2,1(, 11 ????? nnnnn ???? （ 3） )3,2,1()()()()( ??????? nab afbfff nn nn ?? ?? 則由閉區(qū)間套定理，在 ? ?ba, 存在唯一的一點(diǎn) ? ?ba,?? ，使得 ??? ?????? nnnn limlim 根據(jù)引理 3，我們可以得出 ? ? ? ? ? ? ? ? ab afbfab afbffff nnn nnn ???