數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-微分中值定理的證明及應(yīng)用-在線瀏覽
2025-03-05 14:17本頁(yè)面
【正文】 存在性定理有x＇∈[c,(c+d)/2]！引理2 設(shè)（i）f(x)在區(qū)間I的內(nèi)點(diǎn)x可微；（ii）數(shù)列{αn}與{βn}滿足：αn≤x≤βn,αnβn且，則.（2） 拉格朗日中值定理的證明證明：（平行弦逼近法）不斷地運(yùn)用引理1可得到[a,b]的子區(qū)間序列{[αn,βn]}(α0=a,β0=b),使得（i）βnαn=(ba)/2n；(ii)；（iii）[αn+1,βn+1] [αn,βn],這里說明[α2,β2]的選取規(guī)則；若確定[α1,β1]=[a,(a+b)/2]后，有，則規(guī)定為[α2,β2].從而，顯然{αn}與{βn}有相同的極限ξ，并使得αn≤ξ≤βn（n=1,2…） 再由[α2,β2]的取法知ξ∈（a,b）。！3 拉格朗日中值定理的應(yīng)用例設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=：對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a,b,在（0,1）內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)ξ、η使得.證明：因?yàn)閍0,b0,所以0a/(a+b)1,根據(jù)介值定理，至少存在一點(diǎn)x0∈(0,1),使得，在（0，x0）上根據(jù)Lagrange中值定理，存在ξ∈（0,x0）,使得。又由于f(1)=1,所以（2），（1）式加（2）式得（3）.再將代入（3）式即得.三 柯西中值定理的證明及應(yīng)用1 柯西中值定理設(shè)函數(shù)和g滿足（i）在[a,b]上都連續(xù)；(ii)在(a,b)內(nèi)都可導(dǎo)；（iii）f＇(x)和g＇(x)不同時(shí)為零；（iv）g(a)≠g(b). 則存在ξ∈（a,b），使得.柯西中值定理的證明（1） 三個(gè)引理引理1 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義，且在x0 ∈（a,b）處可導(dǎo)，由{[α2,β2]}為一閉區(qū)間套，且，則.引理2 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則存在[a1,b1] [a,b],且,使得.引理3（引理2的推廣） 設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a,b]上連續(xù),且g(x)是單射，則存在[a1,b1] [a,b]，且，使.（2） 柯西中值定理的證明證明：當(dāng)α，β∈[a,b]，且α≠β時(shí)，有g(shù)(α) ≠g(β).若g(α) =g(β)，由引理2，存在[α1,β1] [α,β]，且，使，從而g(β1) =g(α1).在[α1,β1]上再次應(yīng)用引理2有，存在[α2,β2] [α,β]，且，使，從而又有g(shù)(β2) =g(α2).反復(fù)利用引理2，最終可得一個(gè)閉區(qū)間套{[αn,βn]},滿足，且g(βn) =g(αn),由閉區(qū)間套定理，存在ξ∈[α,β] [a,b]，使.由引理1得：，這與條件g＇(x)≠0 (x∈（a,b）)，存在[a1,b1] [a,b]，且，類似于前面的證明，可得閉區(qū)間套{[αn,βn]},滿足，∈[a,b]，：.3 柯西中值定理的應(yīng)用例1（用柯西中值定理證明不等式）若0x1x2л/2，求證.證明：實(shí)際上只需證即可.設(shè)f(t)=et,g(t)=cost,則f(t)、g(t)在[x1,x2]上，滿足柯西中值定理?xiàng)l件，所以，c∈(x1,x2).即.例2（用柯西中值定理證明等式）設(shè)函數(shù)f(x)∈c[a,b] 且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 證明: c∈(a,b), 使得2c[f(b) f(a)]=(b2 a2)f＇(c)，其中a0.證明：(x)=x2, 則f(x)、g(x)滿足柯西中值定理?xiàng)l件,所以 c∈(a,b)，使，即.四 總結(jié)通過以上內(nèi)容，說明微分中值定理有很多證法并且三個(gè)中值定理之間有內(nèi)在聯(lián)系，.五 參考文獻(xiàn)[1][J].(03).[2][J].高等職業(yè)教育—(06).[3][J].(03).[4][J]..[5][J].(06).[6][J].. ag an employment tribunal clai Emloyment tribunals sort out disagreements between employers and employees. You may need to make a claim to an employment tribunal if: you don39。Fur ther help. Employment tribunals are less formal than some other courts, but it is still a legal process and you will need to give evidence under an oath or affirmation. Most people find making a claim to an employment tribunal challenging. If you are thinking about making a claim to an employment tribunal, you should get help straight away from one of the organisations listed underDismissal. You can make a claim to an employment tribunal, even if you haven39。appealeddamagesbased ag
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