微分中值定理的推廣及應(yīng)用論文精選-(滇池學(xué)院貢獻(xiàn))-在線瀏覽
2024-09-03 01:51本頁面
【正文】 為此,構(gòu)造函數(shù),顯然,在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,根據(jù)羅爾定理,存在,使得,即, 所以. 泰勒中值定理定理5 若函數(shù)在內(nèi)存在階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在以與為端點(diǎn)的閉區(qū)間連續(xù)，在其開區(qū)間可導(dǎo)，且，則與之間至少存在一點(diǎn)，使 其中.證明 的泰勒多項(xiàng)式.我們記,則 .可以看出函數(shù)與在閉區(qū)間連續(xù)，在其開區(qū)間可導(dǎo)，且可以看出.應(yīng)用柯西中值定理有：與之間至少存在一點(diǎn)，使 ,其中.4微分中值定理的推廣 微分中值定理是微分學(xué)的核心內(nèi)容,而隨著其不斷地發(fā)展和完善,. 羅爾定理中值的推廣 定理5 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且,其中,則存在使得.證明 由于在內(nèi)可導(dǎo),則必有在上連續(xù),又有. (1)當(dāng)時(shí),對在兩點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)延拓,使得,則有在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)且有,所以,滿足羅爾定理的條件,存在使得.(2)當(dāng)時(shí),由于,故存在,使得,所以在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),滿足羅爾定理,即存在使得.綜上所述,存在使得. 定理6(推廣一) 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在使得.證明 作輔助函數(shù),很明顯在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,則根據(jù)羅爾定理有,存在使得,命題得證.定理7(推廣二) 若在有限開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且與存在,則至少存在一點(diǎn)使得.證明 （1）當(dāng)時(shí),由定理5可知,結(jié)論成立.（2）當(dāng)時(shí),作輔助函數(shù),由在內(nèi)可導(dǎo)知,在內(nèi)也可導(dǎo),又因?yàn)椤?2) 在內(nèi)可導(dǎo),證明存在,使得.證明 證法同例2,令即可證得.小結(jié) 如例3,例7中用羅爾定理證明,需要構(gòu)造出原函數(shù),此類函數(shù)有固定的原型,利用微分中值定理容易得到想要證明的結(jié)論.例4 設(shè),在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), .則有使得.證明 由于,且在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)，所以,必存在使得,根據(jù)羅爾定理,存在使得 .例5 證明恒等式:. 證明 令,則,所以,，所以,即成立.例6 設(shè)且在上連續(xù),.證明 變換待證等式為 其中,顯然,利用羅爾定理即可得.例7 設(shè),在內(nèi)可導(dǎo),則存在,使得.證明 變換待證等式為,所以,其中,于是,在上滿足羅爾定理,從而有結(jié)論.若待證等式明顯可表示為的形式,則很可能就是,因而,可以利用柯西定理證明.例8 設(shè),在連續(xù)可導(dǎo),則存在使得.證明 令則,且,在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)柯西定理,存在使得,即. 利用微分中值定理證明不等式利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明不等式時(shí),常將待證不等式變形為 的形式,且滿足拉格朗日或柯西定理的條件,再證明對一切的有,最后利用中值定理證明.例9 證明對任何正數(shù)、有
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