教案微分中值定理-在線瀏覽
2025-02-23 06:45本頁面
【正文】 B 從圖中可以看出： 符合條件的點(diǎn)出現(xiàn)在最大值和最小值點(diǎn)，由此得到啟發(fā)證明羅爾定理。 ?xf ? 證明：不妨設(shè) )( 0xUx? 時(shí)， )()( 0xfxf ? （若 )()( 0xfxf ? ，可以類似地 a b1? 2? xyo)(xfy ?[鍵入文字 ]西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》教案 2 / 7 西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》課程建設(shè)組 此表 2 學(xué)時(shí)填寫一份，“教學(xué)過程”不足時(shí)可續(xù)頁 證明） .于是對(duì)于 )( 00 xUxx ??? ,有 )()( 00 xfxxf ??? , 從而當(dāng) 0??x 時(shí) , 0)()(00 ?? ??? x xfxxf。 根據(jù)函數(shù) )(xf 在 0x 處可導(dǎo)及極限的保號(hào)性的得 ?? ? )()( 039。 xfxf 0)()(lim 000 ?? ?????? xxfxxfx ?? ? )()( 039。 xfxf 0)()(lim 000 ?? ?????? x xfxxfx ，所以 0)(39。 ??f ? 證明： 由于 )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，因此必有最大值 M 和最小值 m ，于是有兩種可能的情形： （ 1） mM? ，此時(shí) )(xf 在 ],[ ba 上必然取相同的數(shù)值 M，即 .)( Mxf ? 由此得 .0)( ?? xf 因此，任取 ),( ba?? ，有 .0)( ???f （ 2） mM? ，由于 )()( bfaf ? ，所以 M 和 m 至少與一個(gè)不等于 )(xf 在區(qū)間 ],[ ba 端點(diǎn)處的函數(shù)值 .不妨設(shè) )(afM? (若 )(afm? ,可類似證明 ),則必定在),( ba 有一點(diǎn) ? 使 Mf ?)(? . 因此任取 ],[ bax? 有 )()( ?fxf ? , 從而由 費(fèi)馬引理有 0)( ???f . 證畢 【例 1】 驗(yàn)證羅爾定理對(duì) 32)( 2 ??? xxxf 在區(qū)間 ]3,1[? 上 的正確性 解 顯然 32)( 2 ??? xxxf )1)(3( ??? xx 在 ]3,1[? 上連續(xù)，在 )3,1(?上可導(dǎo)，且 0)3()1( ??? ff , 又 )1(2)( ??? xxf , 取 ))3,1(1(,1 ???? ,有0)( ???f . 說明： 1 若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足 , 其結(jié)論可能不成立 。 即 ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b ax162?？梢娏_爾中值定理是 拉格朗日 中值定理的一個(gè)特殊情況，因而用羅爾中值定理來證明之。 又 ab afbfxfxF ?????? )()()()( ? 0)()()( ????? ab afbff ? 或
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