【正文】 明的不等式一定能用柯西中值定理來證明 ,反之則不然 .下面舉例來說明 : 對例 2 用柯西中值定理證明 ,這里僅用第一個小題來說明 ,其證法如下 : 證明 (1)令 ( ) ln(1 )f x x??, ()gx x? . ( ), ( )f x g x 在區(qū)間 ? ?0, ( 0)xx? 上連續(xù) ,在? ?0, ( 0)xx? 內(nèi)可導 ,且 ()gx? 在 ? ?0, ( 0)xx? 內(nèi)每一點都不為零 ,那么由柯西中值定理可得 : ln (1 ) ln (1) 1(1 ) 1 1xx ??? ?? ? ?, (0, )x?? 則有 ln (1 ) ln (1)1 xx ?? ? ? ?, (0, )x?? . 下面與例 2 中解法同 ,這里就不再贅述了 . 例 4 (1)設(shè) 0x? ,對 01???的情況 ,求證 : 1xx? ??? ? ? . (2)設(shè) 0x? ，求證 : sin 1xxe??. 證明 (1)設(shè) xxf ??)( , xxg ??)( . 當 1x? 時結(jié)論顯然成立 . 當 1x? 時 ,取 ? ?,1x 或 ? ?1,x , ( ), ( )f x g x 在閉區(qū)間 ? ?,1x 或 ? ?1,x 上連續(xù) ,在開區(qū)間 ? ?,1x 或? ?1,x 可導 ,且 ()gx? 在內(nèi) ? ?,1x 或 ? ?1,x 每一點均不為零 ,由柯西中值定理可得 : ( ) (1) ( )( ) (1) ( )f x f fg x g g ???? ? ?? , ( ,1x?? 或 (1, )x?? 即 1 11xx?? ??? ?? ? ? ? ?? ??? . 9 所以 1xx? ??? ? ? 得證 . (2)設(shè) ( ) sinf t t? , () tgt e? , ? ?0,tx? , ( ), ( )f x g x 在閉區(qū)間 ? ?0,x 上連續(xù) ,在開區(qū)間? ?0,x 內(nèi)可導 ,且 ()gx? 在 ? ?0,x 內(nèi)每一點均不為零 ,那么由柯西 中值定理可得 : ( ) (0 ) ( )( ) (0 ) ( )f x f fg x g g ???? ? ?? , ? ?0,x?? . 即 sin cos1t xee????, ? ?0,x?? . 因為 10xe ?? , 10e? ?? ,所以 sin cos 11t xee?????. 即 sin 1xxe??. 注意 :例 4 中的兩個不等式能用柯西中值定理來證明 ,但不能用拉格朗日中值定理證明 . 例 5 如果函數(shù) ()fx滿足兩個條件 :(1)在閉區(qū)間 ? ?,ab 上有二階導數(shù) ()fx?? 。 (2) 如果在 ? ?,ab 內(nèi)函數(shù) ()fx的導數(shù) ( ) 0fx? ? ,則函數(shù) ()fx在 ? ?,ab 上單調(diào)減少 .另外 ,函數(shù) ()fx在 ? ?,ab 內(nèi)除有個別點外 ,仍有 ( ) 0fx? ? (或 ( ) 0fx? ? ),則函 數(shù) ()fx在? ?,ab 上單調(diào)增加 (或減少 )的 ,即連續(xù)函數(shù)在個別點處無導數(shù)并不影響函數(shù)的單調(diào)性 . 再利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象上峰值點與各極值點的性質(zhì) ,便可以方便地求出函數(shù)的極值 ,從而證明出不等式 . 其方法為 :確定函數(shù) ()fx的定義域 ,然后求出定義域內(nèi)的所有駐點 ,并找出 ()fx連續(xù)但 ()fx? 不存 在的所有點 ,討論所有駐點和不可導點左右兩側(cè)附近 ()fx? 的符號變化情況 ,確定函數(shù) ()fx的極值點 ,并求出相應的極大值點與極小值點 ,從而進一步證明不等式 . 例 8 求證 (1)當 0x? 時 ,證明 2ln(1 ) 2xxx? ? ? 成立 . (2)當 (0, )2x ?? 時 ,證明 tan sinxx? 成立 . 證明 (1)令 2)1ln()( 2xxxxf ???? ,因為函數(shù) ()fx在 [0, )?? 上連續(xù) ,在 (0, )??內(nèi)可導 ,且 21( ) 111xf x xxx? ? ? ? ???. 當 0x? 時 , 2( ) 01xfx x? ??? ,所以當 0x? 時 ,函數(shù) ()fx是單調(diào)遞增的 .故當 0x? 時 ,有 : ( ) (0) 0f x f??,即 ( ) 0fx? , 15 從而 2ln(1 ) 2xxx? ? ? 成立 . (2)因為 (0, )2x ?? ,所以 sin 0x? ,tan 0x? .令函數(shù) 2( ) si n ta nf x x x x??,則有 : 2 1( ) s in s e c s in 2 ta n ( c o s )c o sf x x x x x x x x? ? ? ? ? ? 因為 (0, )2x ?? 時 , 1cos 2cosx x??,tanxx? ,所以 ( ) 0fx? ? .即 ()fx在 (0, )2x ?? 時嚴格遞增的 ,又因為 0)0( ?f ,所以 ( ) 0 ( (0, ))2f x x ??? ,即 tan sinxx? 成立 . 例 9 設(shè)函數(shù) ()fx在閉區(qū)間 ? ?,ab 上二次可微 ,且滿足 ( ) 0fx?? ? , 試證 :當 a x b??時 ,有不等式 : ( ) ( ) ( ) ( )f x f a f b f ax a b a??? 成立 . 證明 令 ( ) ( )() f x f ax xa? ?? ? ,那么 ( ) ( )( ) ( )f x fx a xxa ??????? ? ? ??. 由于 ( ) 0fx?? ? ,可知 ()fx? 在閉區(qū)間 ? ?,ab 上是嚴格遞增的 ,即 ( ) ( )f x f ???? , 從而有 ( ) 0x?? ? , 故函數(shù) ()x? 在閉區(qū)間 ? ?,ab 上也是嚴格遞增的 ,于是當 ? ?,x ab? 時 ,有 : ( ) ( )xb??? , 即 ( ) ( ) ( ) ( )f x f a f b f ax a b a??? 成立 . 16 第七章 微分中值定理證明不等式在解題中的應 用 例 10 a1,n 1? .證明 ? ?naaaa nnnn an 2111111ln1 2 ?????? 分析：即證 ? ? aanaaana nnnn lnln 211112111 ??? ??? 注意： ? ? aaa xx ln?? 對 axxf ?)( 用微分中值定理 證明：令 axxf ?)( )(111)11()1( ?fnnnfnf ?????? )111( nn ，??? 即 annaaa nn ln)1( 1111 ???? ? ? ? naaaana nnnn nna 21111211 )1(ln1 ????? ??? ? 例 11 設(shè) 0ab，證明不等式ab ababa ???? lnln2 22 證明： )( ba，??? ?? 1lnln /)(l n ???? ? ?x xab ab ababa 1112 22 ???? ? baab 222 ?? aab 11 ? 即證 例 12：證明不等式 （ 1） ；， 102 2 ???? ?????? ? nyxyxyxnnn （ 2） yxeee yxyx ??? ? ，22 證明：（ 1） 設(shè) ??xf =xn ,則當 n1時 xnnxf 1)( ??? 00)1()( 2 ??????? ? xnnxf x n ， 所以 ??xf 在（ 0， +? ）上嚴格下凸，因而 17 ；， 102 2 ???? ?????? ? nyxyxyxnnn (2)設(shè) ??xf =ex ,則 ? ?， ??????????? xxfxf e x 0)()( 所以 ??xf 在 ? ????? ， 上嚴格下凸，因而 yxeee yxyx ??? ? ，22 例 13 設(shè) ??xf 在 ? ?ba, 連續(xù)，在 ? ?ba, 二階可導，證明存在 ? ?ba,?? 使 ? ? ? ? )(22 22?fbafafbf ab ????????? ??? ?????? ? 證 明：設(shè) ? ? ? ? ?????? ???? 2 abxfxfxg 由于 ? ?,22 afbafbag ??????? ???????? ? ? ? ? ? ?????? ??? 2 bafbfbg 在區(qū)間 ?????? ? bba ，2上對 ??xg 應用 Lagrange中值定理，即得到 ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ???????? ????????? ??? ? 2222 abbagbgbafafbf g ? ? ? ?????? ??????? ?????? ?????? 22 ababff ?? ? ? ?????? ???? 22abf ? 即證 18 第八章 基本不等式在現(xiàn)實生活中的應用 數(shù)學是來源于生活且應用于生活 .在新課標的標準下，我們的課程標準更加注重理論聯(lián)系實際，擺脫曾經(jīng)所出現(xiàn)的“書呆子”一說 .無一例外，基本不等式在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，下面舉例介紹如何利用基本不等