用微分法證明不等式_數(shù)學與應(yīng)用_數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文-在線瀏覽
2024-09-15 19:24本頁面
【正文】 ifferential mean value theorem The Monotonicity of the function Inequality 1 緒論 不等式是初等數(shù)學中比較重要的成，其中不等式的證明就突出了它的重要性 . 在整個數(shù)學學習過程中經(jīng)常需要用到不等式，不等式是我們學習數(shù)學的工具 , 比如關(guān)于集合的運算 (交集、并集、補集 )需要不等式，在三角函數(shù)中解關(guān)于三角不等式 , 函數(shù)的學習中需要應(yīng)用有關(guān)不等式的知識等 .不等式與 高中階段的諸多知識都是相關(guān)的 , 因此這一部分知識顯得尤為重要 . 不等式的重要性表現(xiàn)在另一方面就是求最值問題 , 高中階段對于求問題的最值是經(jīng)常見到的 , 在教學中也是教學重點 , 常用的求問題最值的常規(guī)方法不多 , 其中利用不等式的知識求問題的最值是一種重要方法 . 在微積分課程中 , 不等式是證明許多定理與公式的工具 . 不等式表達了許多微積分問題的結(jié)果 , 而微積分中的一些定理和公式又可導出許多不等式 . 證明不等式的的方法也有很多種，除了常見的一些初等方法外，還可利用高等數(shù)學工具來證明不等式，利用高等數(shù)學中的微分思想可 以使不等式的證法思路變得簡單，技巧性降低 . 文獻 ?? ??51? 利用微分法證明不等式，是根據(jù)不等式的特點，構(gòu)造輔助函數(shù)，主要討論的是利用函數(shù)的單調(diào)性、微分中值定理等把不等式的證明轉(zhuǎn)化為用微分法來研究函數(shù)的形態(tài) . 不等式是數(shù)學中經(jīng)常遇到而又比較困難的問題之一 . 而本文用微分法討論不等式的證明 , 討論的是利用函數(shù)的單調(diào)性、微分中值定理、泰勒公式、求極值的方法、單調(diào)極限的方法以及函數(shù)的凹凸性這六個方面來證明不等式 . 1 引言 引理 1[6] (微分中值定理 )若函數(shù) ??xf 滿足如下條件 : (1) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù) 。 (2) ??xf 在開區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)可導 , 則在 ? ?ba, 內(nèi)至少存在一點 ? , 使得 ? ? ? ? ? ? ? ?abfafbf ???? ?39。 ?xf (或 ? ? 039。!239。 ?? ???? pp xpxpxf 那么 ? ? 2121 )1(111111 ?? ????????? ?????????? ??? pp xppxppxf ???????? ?????????? ??? ?? 2121 )1(111 pp xxpp 當 10 ??x 時 , ? ? 0 ?xf , 則由引理 2 得 ??xf39。39。 在區(qū)間上的函數(shù)值之差及 ??xf 的表達式 ， 則微分中值定理是我們的選擇 ， 應(yīng)用中值定理證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù) ??xf 和閉區(qū)間 ? ?ba, ,使??xf 在 ? ?ba, 上滿足中值定理的條件 . 例 當 0?s 時 , 證明 ? ?11211 11 ??????? ?? snnsn sssss ? 分析 不等式兩端的式子中都是 1?s 次冪 , 而不等式的中間卻是 s 次冪 , 因此考慮到應(yīng)用微分中值定理 . 證明 令 ? ? 1?? sxxf , 則 ? ? ? ? sxsxf 139。39。 ??? ?, 1,3,2,1 ?? nk ? 5 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ssks kssks ????????? 1111 ?, 1,3,2,1 ?? nk ? 將 k 分別用 1,3,2,1 ?n? 代入得 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?ssssssssssssssssnsnnnsnsnnnsssss1111111121121111010111111111???????????????????????????????????????????? 將上面前 1?n 個式子的左邊相加得 ? ? ? ?? ? ? ? 1112101 ??????????? ssssss nnns ? 所以 ? ? ? ?11121 1???????? ?snnn sssss ? 將上面前 n 個式子的右邊相加得 ? ? ? ?? ?ssssss nnsn ?????????? 121011 ? 綜上得 ? ?1121111?????????snnsnsssss ? 用泰勒公式證明不等式 當涉及到二階或更高階導數(shù)的命題時，可考慮用泰勒公式證明不等式 .其關(guān)鍵是選擇在恰當?shù)奶厥恻c（一階導數(shù)值的點、區(qū)間端點、最值點、中間點、平均值點）展開 . 例 若 ??xf 在 ? ?ba, 上二 次連續(xù)可微 , 02 ??????? ?baf, 證明 : ? ? ? ?24 3abMdxxfba???? , 其中 ? ?xfM bxa max??? 分析 要證的不等式左邊的被積函數(shù)的具體形式未知 , 而不等式的右邊出現(xiàn)了 ??xf 的形式 , 題目條件又給了 ??xf 在區(qū)間 ? ?ba, 上二次可微 , 再結(jié)合02 ??????? ?baf , 應(yīng)該利用 ??xf 在 20 bax ?? 的泰勒公式進行證明 . 證明 函數(shù) ??xf 在 20 bax ??的泰勒公式即由引理 3 為 6 ? ? ? ? 22!22239。 ?????? ??????????? ????????? ?? baxfbaxbaf ?,? 在 x 與 2b? 之間 . 所以 ? ? ? ?? ?? ?????? ????????? ???????? ??bababa dx
研究報告相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1