用微分法證明不等式_數(shù)學(xué)與應(yīng)用_數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文(存儲版)
【正文】 ................................6 用單調(diào)極限的方法證明不等式 ...............................................................8 用函數(shù)的凹凸性證明不等式 ...................................................................9 參考文獻(xiàn) .....................................................................................................12 致謝 ............................................................................................................13 II 用微分法證明不等式 摘要 本文從微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性定理、極值判定定理等方面討論了不等式的證明問題 , 歸納和總結(jié)了利用微分法證明不等式的方法和技巧 ,使得不等式的證明變得簡單 . 【關(guān)鍵詞】 微分法 微分中值定理 函數(shù)的單調(diào)性 不等式 III Proving Inequalities by Differential Method Abstract Inequalities are proved by differential mean value theorem, monotonicity theorem, extreme value theorem and many other methods using Higher Mathematics in this paper. It concludes and summarizes the methods and skills of using differential method to prove inequality, then the inequality bees simple. 【 Key words】 Differentiation The differential mean value theorem The Monotonicity of the function Inequality 1 緒論 不等式是初等數(shù)學(xué)中比較重要的成，其中不等式的證明就突出了它的重要性 . 在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常需要用到不等式，不等式是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的工具 , 比如關(guān)于集合的運(yùn)算 (交集、并集、補(bǔ)集 )需要不等式，在三角函數(shù)中解關(guān)于三角不等式 , 函數(shù)的學(xué)習(xí)中需要應(yīng)用有關(guān)不等式的知識等 .不等式與 高中階段的諸多知識都是相關(guān)的 , 因此這一部分知識顯得尤為重要 . 不等式的重要性表現(xiàn)在另一方面就是求最值問題 , 高中階段對于求問題的最值是經(jīng)常見到的 , 在教學(xué)中也是教學(xué)重點(diǎn) , 常用的求問題最值的常規(guī)方法不多 , 其中利用不等式的知識求問題的最值是一種重要方法 . 在微積分課程中 , 不等式是證明許多定理與公式的工具 . 不等式表達(dá)了許多微積分問題的結(jié)果 , 而微積分中的一些定理和公式又可導(dǎo)出許多不等式 . 證明不等式的的方法也有很多種，除了常見的一些初等方法外，還可利用高等數(shù)學(xué)工具來證明不等式，利用高等數(shù)學(xué)中的微分思想可 以使不等式的證法思路變得簡單，技巧性降低 . 文獻(xiàn) ?? ??51? 利用微分法證明不等式，是根據(jù)不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造輔助函數(shù)，主要討論的是利用函數(shù)的單調(diào)性、微分中值定理等把不等式的證明轉(zhuǎn)化為用微分法來研究函數(shù)的形態(tài) . 不等式是數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到而又比較困難的問題之一 . 而本文用微分法討論不等式的證明 , 討論的是利用函數(shù)的單調(diào)性、微分中值定理、泰勒公式、求極值的方法、單調(diào)極限的方法以及函數(shù)的凹凸性這六個方面來證明不等式 . 1 引言 引理 1[6] (微分中值定理 )若函數(shù) ??xf 滿足如下條件 : (1) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù) 。 單調(diào)遞增 , 于是 ? ? ? ? 01139。2 ?????? ?????????? ????????? ???????? ?? baxfbaxbafbafxf ? ? ? 22212239。 的形式得：極值的可能點(diǎn)為 0?t , ??t . 那么當(dāng) nt? 時 , ??tf 的最小值只能在 0?t , ??t , nt? , ???t 中取到 . 而 ?? 00?f ? ? 1112 ???????? ????? nnnennnfnn ? ? ??????????? ?????? ????? ??????nttt ntenttf 11limlim 2 ? ? nnenf ?????? ????? ??? ? 112 ?????? ????? nn ?? 1212 8 22221nnn ??? ???????? ?? ? ?1
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