用微分法證明不等式_數(shù)學(xué)與應(yīng)用_數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文-文庫吧
2025-06-09 19:24 本頁面
【正文】 不等式的的方法也有很多種，除了常見的一些初等方法外，還可利用高等數(shù)學(xué)工具來證明不等式，利用高等數(shù)學(xué)中的微分思想可 以使不等式的證法思路變得簡單，技巧性降低 . 文獻 ?? ??51? 利用微分法證明不等式，是根據(jù)不等式的特點，構(gòu)造輔助函數(shù)，主要討論的是利用函數(shù)的單調(diào)性、微分中值定理等把不等式的證明轉(zhuǎn)化為用微分法來研究函數(shù)的形態(tài) . 不等式是數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到而又比較困難的問題之一 . 而本文用微分法討論不等式的證明 , 討論的是利用函數(shù)的單調(diào)性、微分中值定理、泰勒公式、求極值的方法、單調(diào)極限的方法以及函數(shù)的凹凸性這六個方面來證明不等式 . 1 引言 引理 1[6] (微分中值定理 )若函數(shù) ??xf 滿足如下條件 : (1) ??xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù) 。 (2) ??xf 在開區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo) , 則在 ? ?ba, 內(nèi)至少存在一點 ? , 使得 ? ? ? ? ? ? ? ?abfafbf ???? ?39。 引理 2[6] (函數(shù)的單調(diào)性定理 )若函數(shù) ??xf 在區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo) , 則 ??xf 在 2 區(qū)間 ? ?ba, 遞增 (遞減 )的充要條件是 ? ? 039。 ?xf (或 ? ? 039。 ?xf ). 若 bx? 時 , ??xf 單調(diào)遞增 (或者嚴格單調(diào)遞增 )，且 0??bx 時 , ? ? Axf ? , 則 ? ? Axf ? (當 bx? 時 )[或 ? ? Axf ? (當 bx? 時 )]. 引理 3[6] (泰勒公式 )若函數(shù) ??xf 在 ? ?ba, 上存在直至 n 階連續(xù)導(dǎo)函數(shù) , 在? ?ba, 內(nèi)存在 1?n 階導(dǎo)函數(shù) , 則對任意給定的 x , ? ?bax ,0? , 至少存在一點? ?ba,?? , 使得 : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?30020xx00 !339。!239。 xxxfxxxfxxxfxfxf ?????????? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 10100 !1! ?? ???????? nnnn xxnfxxn xf ?? 引理 4[6] (詹森不等式 )若 ??xf 為 ? ?ba, 上的凸 函數(shù) , 則對任意? ?baxi ,? , ? ?nii ,2,10 ???? , 11 ???ni i?, 有 ? ?ini ini ii xfxf ???????? ? ???? 11 ?? 如果 ??xf 為 ? ?ba, 上的凹函數(shù) , 則 ? ?ini ini ii xfxf ???????? ? ???? 11 ?? 2 用微分法證明不等式 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式 , 首先根據(jù)題設(shè)條件及所證不等式 , 構(gòu)造適當?shù)妮o助函數(shù) ??xf , 并確定區(qū)間 ? ?ba, ；然后利用導(dǎo)數(shù)確定 ??xf 在 ? ?ba, 上的單調(diào)性；最后根據(jù) ??xf 的單調(diào)性導(dǎo)出所證的不等式 . 例 設(shè) 1?p 為正常數(shù) , 試證 : 如果 ba??0 , 則 ppp abab 111 )( ??? . 分析 將要證明的結(jié)果兩邊同時除以 b 得 3 pp baba 11 )1()(1 ??? , 10 ??ba 于是構(gòu)造函數(shù) ? ? )10()1(1 11 ?????? xxxxf pp , 只要證明 ??xf 在區(qū)間 ? ?1,0上的最大值小于或者等于 0 即可 . 證明 設(shè)函數(shù) ? ? ? ?10)1(1 11 ?????? xxxxf pp , 則 (1)當 1?p 時 , ? ?1,0??x , ? ? 011)( ????? xxxf , 即 ?? 0?f 令 bax? 得 0)1(1 ???? baba 兩邊再同時乘以 b 得 abab ??? 因此當 1?p 時 , ppp abab 111 )( ??? (2)當 1?p 時 , 有 ? ? 1111 )1(1139。 ?? ???? pp xpxpxf 那么 ? ? 2121 )1(111111 ?? ????????? ?????????? ??? pp xppxppxf ???????? ?????????? ??? ?? 2121 )1(111 pp xxpp 當 10 ??x 時 , ? ? 0 ?xf , 則由引理 2 得 ??xf39。 單調(diào)遞增 , 于是 ? ? ? ? 01139。39。 ????pfxf, 同樣由引理 2 可得 ??xf 單調(diào)遞減 , 則 ? ? ? ? 00 ?? fxf , 因此 ? ? 0)1(1 11 ????? pp xxxf 在區(qū)間 ? ?1,0 上恒成立 . 4 令 bax? 得 10,01111????????? ????????? bababa pp 等式兩邊同時乘以 b 得 0)( 111 ???? ppp abab 綜上所述 當 1?p , ba??0 時 , ppp abab 111 )( ??? 用微分中值定理證明不等式 微分 中值定理適合證明函數(shù) ??xf 與其導(dǎo)函數(shù)之間的不等式 ， 若觀察不等式出現(xiàn) ??xf39。 在區(qū)間上的函數(shù)值之差及 ??xf 的表達式 ， 則微分中值定理是我們的選擇 ， 應(yīng)用中值定理證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù) ??xf 和閉區(qū)間 ? ?ba, ,使
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