用微分法證明不等式_數(shù)學(xué)與應(yīng)用_數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文(完整版)
【正文】 h lnln ??? , 則對(duì)于 ??xh 應(yīng)用微分中值定理得 當(dāng) xt??0 時(shí) , 存在一點(diǎn) ? , 且 xtx ???? ?0 , 使得 ? ??txh ?? 當(dāng) 0?t 時(shí) , 存在一點(diǎn) ? , 且 txx ???? ?0 , 使得 ? ??txh ?? 于是 ? ? ? ? txtxtxxg ????? lnln39。 ?xf 或 ? ? 039。39。!239。 引理 2[6] (函數(shù)的單調(diào)性定理 )若函數(shù) ??xf 在區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo) , 則 ??xf 在 2 區(qū)間 ? ?ba, 遞增 (遞減 )的充要條件是 ? ? 039。 ????pfxf, 同樣由引理 2 可得 ??xf 單調(diào)遞減 , 則 ? ? ? ? 00 ?? fxf , 因此 ? ? 0)1(1 11 ????? pp xxxf 在區(qū)間 ? ?1,0 上恒成立 . 4 令 bax? 得 10,01111????????? ????????? bababa pp 等式兩邊同時(shí)乘以 b 得 0)( 111 ???? ppp abab 綜上所述 當(dāng) 1?p , ba??0 時(shí) , ppp abab 111 )( ??? 用微分中值定理證明不等式 微分 中值定理適合證明函數(shù) ??xf 與其導(dǎo)函數(shù)之間的不等式 ， 若觀察不等式出現(xiàn) ??xf39。 ? ? ?? ?????? ????????? ????????? ???????? ????????? ?? badxbaxfbaabafbabbaf 22222122239。 txtt ???? ? txttx t ????? 0? 即 ??xg 在 0?x , xt? , 0?t 時(shí)單調(diào)遞增 , 又 ? ? tttxxxxx extxtxf ???????????? ??????????????? ???????? ?? 1l i m1l i ml i m 即 ???x 時(shí) , tx ext ???????? ?1 從而當(dāng) 0?x , xt? , 0?t 時(shí) , 01 ??????? ???xtxte (2)當(dāng) 0?t 時(shí) , 01 ??????? ???xtxte (3)當(dāng) xt? 時(shí) , 01 ???????? ?? ?? xxt exte 綜上所述 當(dāng) 0?x , xt? 時(shí) , 01 ??????? ???xtxte 用函數(shù)的凹凸性證明不等式 利用函數(shù)的凹凸性來(lái)證明不等式就是根據(jù)函 數(shù)凹凸性定義中的不等式關(guān)系，構(gòu)造一個(gè)凸函數(shù)或凹函數(shù)來(lái)證明，由定義及判別法有 ??xf 在某區(qū)間上 (二階可導(dǎo) )為凸 (凹 )函數(shù) ? ? ? ?? ?00 ??? xfxf 10 則有下列不等式成立 ? ? ? ? ? ?? ?nn xfxfxfnn xxxf ??????????? ??? ?? 2121 1 ( ? ? ? ? ? ?? ?nn xfxfxfnn xxxf ??????????? ??? ?? 2121 1) 由此可證明一些不等式，特別是含有兩個(gè)或兩個(gè)以上變?cè)?. 例 設(shè) ? ?nixi ,2,10 ??? , 證明 nxxxxxxxxxn nnnn???????212121111 ?? 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) nxxxx ???? ?321 時(shí)成立 . 分析 將不等式各部分同時(shí)取對(duì)數(shù)，這時(shí)左邊的 不等式可變?yōu)? ???????? ????????nn xxxnn xxx 1ln1ln1ln1111ln2121 ?? 從而可以通過(guò)函數(shù) ? ? xxf ln?? 為 ? ???,0 上的凸函數(shù)再結(jié)合詹森不等式得上式 . 另一方面，通過(guò)將不等式的各部分同時(shí)取對(duì)數(shù)可將右邊的不等式變?yōu)? ? ? n xxxxxxn nn ?? ?????? 2121 lnlnlnln1 那么可以通過(guò)函數(shù) ? ? xxg ln? 為 ? ???,0 上的凹函數(shù)再結(jié)合詹森不等式得上式． 證明 (1) 設(shè) ? ? ? ?0ln ??? xxxf , 則 ? ? xxf 139。 ? ? ?? ?????? ????? ba dxbaxf 2221 ? ? ? dxbaxfba 2221 ?????? ????? ? ? 3323122312 ?????? ??????????? ????? baaMbabM ? ?324 abM ??? 用求極值的方法證明不等式 在不等式的證明中 , 我們常常構(gòu)造函數(shù) ??xf , ??xf 構(gòu)造好后，如果無(wú)法得到 ? ? 039。 ?? , 從而 ? ? ? ? 11 ??? sxssxf 對(duì) ??xf 在區(qū)間 ]1,[ ?ii , ni ,1,0 ?? 應(yīng)用微分中值定理 , 即由引理 1 得 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1,11,1,112,1,1121,0,10111111122111111????????????????????????????
研究報(bào)告相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1