【正文】 79。1)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中mn0,則12+的最小值是__________ mn6．設(shè)正數(shù)x,y滿足log2(x+y+3)=log2x+log2y，則x+y范圍是三、能力提高關(guān)于x的方程4+a2+a+1=0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（2）已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1,求11+的最小值。第一篇：57均值不等式與不等式的實(shí)際應(yīng)用學(xué)案五十七：均值不等式與不等式的實(shí)際應(yīng)用命題：閆桂女劉麗娟審核：【考綱要求】了解均值不等式的證明過(guò)程會(huì)用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮?wèn)題【課前自主預(yù)習(xí)】一、自主梳理，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)重要不等式：如果a,b都是實(shí)數(shù)，那么a+b179。xy（3）已知正數(shù)x,y滿足2x+8yxy=0, 求x+y的最小值變式：（1）正數(shù)x,y滿足19+=1，求x+y的最小值 xy（2）若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍題型二：例（1）已知x51，求函數(shù)y=4x2+的最大值 44x510+7x+x2（2）已知x1，求函數(shù)y=的最小值 x+1題型三：證明不等式例3．已知a,b,c206。汽車(chē)行駛中，由于慣性作用，剎車(chē)后還要向前滑行一段距離才能停住，我們把這段距離叫做“剎車(chē)距離”。2(a,b同號(hào)）aba2+b2a+b2a+b2179。C、a+b179。x+12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b0, 則當(dāng)a = ______時(shí),考向二、利用均值不等式證明簡(jiǎn)單不等式例已知x0,y0,z0，求證：（變式訓(xùn)練已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，求證：a+b+c179。1，則3+9的最小值為_(kāi)__________。2ab(2)若a,b206。R*，則ab163。2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)179。2即+179。湊項(xiàng)，∵x511246。54x評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。9解：∵0x∴32x0∴y=4x(32x)=22x(32x)163。230。當(dāng),即時(shí),y179。例：求函數(shù)y=A+B(A0,B0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不g(x)a的單x2的值域。)為單調(diào)遞增函數(shù)，故y179。248。(x+y)179。230。xyxyxy變式：（1）若x,y206。解析：注意到2x1與52x的和為定值。230。1247。232。230。231。應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問(wèn)題例：已知x0,y0且1+9=1，求使不等式x+y179。)+2y=1,x、y206。R，則a+b179。(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”(3)若a,b206。2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”）x1若x0，則x+163。2即+179。4x5解：因4x50，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x2)g不是常數(shù)，所以對(duì)4x2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，4x5511246。54x評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。9230。206。當(dāng),即時(shí),y179。t(t179。t2因t所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?33。(0,p),x3(3)y=2sinx+,(x0)（2）y=2x+（1）y=sinxx3x2．已知0條件求最值 x1，求函數(shù)y.；3．0x，求函數(shù)y=3.+b=2，則3a+分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過(guò)程，而且3解： 當(dāng)3a3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，3a和3b都是正數(shù)，3a+3b≥23a3b=3a+b=6=3b時(shí)等號(hào)成立，由a+b=2及3a=3b得a=b=1即當(dāng)a=b=1時(shí)，3a+3b的最小值是6．11變式：若log4x+log4y=2，求+,y的值xy技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。xyxy232。y9x190,+=1，\x+y=(x+y)231。R+且a+bxy=1，求x+y的最小值已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 2y 2＝1，求x1＋y 2 ：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤a 2＋b 2。t＝8∴ ab≤18∴ y≥當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號(hào)成立。技巧九、取平方已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x ＋2y ：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，a＋b≤a 2＋b2，本題很簡(jiǎn)單3x ＋2y≤2（3x）2＋（2y）2 ＝2 3x＋2y ＝25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。=時(shí)取等號(hào)。1246。179。aaa1）正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、c206。c述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得1230。111179。a248。2。16，m206。b248。247。230。解：Qa、b、c206。a248。求證：231?？傊覀兝镁挡坏仁角笞钪禃r(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。2y ＝10＋23x （a,b206。 ＝x=++10179。在1+9y179。xy1919246。,+165。2)t110,t=1，但t=解得t=177。技巧四：換元解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。0,247。2231。利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。Qx,\54x0，\y=4x2+=231。2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”bababaa+b2a2+,b206。0，則x+1179。230。R，則ab163。（443432721當(dāng)x=4y即x=,y=,b,x,y206。xy條件：m≤(x+y)的最小值，m206。3232。230。+解：Qa、b、c206。1247。已知a、b、c206。4+(2x1)+(52x)=8又y0，所以0y163。R且a+b=1，求x+y最小值xyy 2技巧七、已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x＋ ＝1，求x1＋ 2＋b2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。y9x19正解：∵x0,y0,+=1，\x+y=(x+y)231。248。