【正文】 三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證(2)綜合法是由因導果，而分析法是執(zhí)果索因換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調性法、判別式法、從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法 典型題例例1證明不等式1+12+13+L+1n2n(n∈N*)知識依托 本題是一個與自然數(shù)n有關的命題，首先想到應用數(shù)學歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構造法等 例2求使x+y≤ax+y(x＞0，y＞0)恒成立的a 知識依托 該題實質是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關性質把a呈現(xiàn)出來，等價轉化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1求證(a+11)(b+)ba證法一(分析綜合法）證法二(均值代換法)證法三(比較法）證法四(綜合法)證法五(三角代換法）鞏固練習已知x、y是正變數(shù),a、b是正常數(shù),且ab+=1，x+y的最小值為xy設正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，則ad與bc的大小關系是 若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、q的大小順序是__________ 已知a，b，c為正實數(shù)，a+b+c=1求證1(2)a+2+3b+2+c+2≤6312已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2= x，y，z∈［0，］ 23(1)a2+b2+c2≥證明下列不等式b+c2c+a2a+b2z≥2(xy+yz+zx)x+y+abcy+zz+xx+y111++(2)若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，則≥2(++)xyzxyz(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，則已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n(1)證明 niAim＜miAin(2)(1+m)n＞(1+n)m若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求證 a+b≤2，ab≤1不等式知識的綜合應用典型題例例1用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)設容器高為h米，蓋子邊長為a米，(1)求a關于h的解析式；(2)設容器的容積為V立方米，則當h為何值時，V最大？求出V的最大值(求解本題時，不計容器厚度)知識依托本題求得體積V的關系式后，應用均值定理可求得最值例2已知a，b，c是實數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當－1≤x≤1時|f(x)|≤1(1)|c|≤1；(2)當－1 ≤x≤1時，|g(x)|≤2；(3)設a＞0，有－1≤x≤1時，g(x)的最大值為2，求f(x)知識依托 二次函數(shù)的有關性質、函數(shù)的單調性，絕對值不等式例3設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的兩個根xx2滿足0＜x1＜x2(1)當x∈［0，x1)時，證明x＜f(x)＜x1；(2)設函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=x0對稱，證明 x0＜x1鞏固練習定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間［0，+∞)的圖象與f(x)的圖象重合，設a＞b＞0，給出下列不等式，其中正確不等式的序號是()①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)①③B②④C①④②③下列四個命題中①a+b≥2ab②sin2x+4≥4③設x，y都是正數(shù)，若則x+y的最小值是12④+=1，2xysinx若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，則|x－y|＜2ε，其中所有真命題的序號是__________已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，設方程f(x)=x的兩實數(shù)根為x1，x2(1)如果x1＜2＜x2＜4，設函數(shù)f(x)的對稱軸為x=x0，求證x0＞－1；(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值范圍設函數(shù)f(x)定義在R上，對任意m、n恒有f(m+n)=f(m)四川)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為______.【例6】 等比數(shù)列{an}的首項為a1＝2002，公比q＝－．(Ⅰ)設f(n)表示該數(shù)列的前n項的積，求f(n)的表達式；(Ⅱ)當n取何值時，f(n)有最大值．題型四 求解探索性問題數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設所探求對象存在或結論成立，以此假設為前提條件進行運算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設不成立，從而得到“否定”的結論，能求得在范圍內的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結論，即得到存在的結果.【例7】 已知{an}的前n項和為Sn，且an＋Sn＝4.(Ⅰ)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(Ⅱ)是否存在正整數(shù)k，使【點評】在導出矛盾時須注意條件“k∈N*”，這是在解答數(shù)列問題中易忽視的一個陷阱.【例8】(08N)(3)求證: P2+P3+?+Pn6n5(n179。10k=1Sk+Tkn前k項積,求證例6(1)證明: ln(1+x)x(x0)(2)數(shù)列{an}=1,且an=230。n2①證明: an【專題訓練】179。x2例1：x0時,求證；x－ln(1+x)＜0把不等式變形后再構造函數(shù),然后利用導數(shù)證明該函數(shù)的單調性，達到證明不等式的目的。例已知函數(shù)f(x)三、利用導數(shù)解不等式 例8：函數(shù)ax(a0),解不等式f(x)≤1第三篇：高中數(shù)學復習專題講座關于不等式證明的常用方法高考要求不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內容結合高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，純不等式的證明，歷來是高中數(shù)學中的一個難點，本節(jié)著重培養(yǎng)考生數(shù)學式重難點歸納比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配 如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，(2)綜合法是由因導果，而分析法是執(zhí)果索因，兩法相互轉換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關系，可以增加解題思路，開擴視野2不等式證明還有一些常用的方法換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調性法、判別式法、數(shù)形結合法等換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結論中考查有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法證明不等式時，要依據(jù)題設、題目的特點和內在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點111++L+2(n∈N*)例1證明不等式1+23n命題意圖本題是一道考查數(shù)學歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查學生觀察能知識依托 本題是一個與自然數(shù)n有關的命題，首先想到應用數(shù)學歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構造法等錯解分析 此題易出現(xiàn)下列放縮錯誤1+LL==n個技巧與方法本題證法一采用數(shù)學歸納法從n=k到n=k+1的過渡采用了放縮法證法二先放縮，后裂項，有的放矢，直達目標而證法三運用函數(shù)思想，借助單調性，獨具匠心，發(fā)人深省(1)當n等于1時，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立111++L+(2)假設n=k(k≥1)時，不等式成立，即1+＜2k，2k則1+=12+1+L+1k+1+12k+1k+1 2k(k+1)+1+1k+(k+1)+1=2k+1,∴當n=k+1綜合(1)、(2)得當n∈N*時，都有1+12+13+L+1n＜另從k到k+1Q2(k+1)12k(k+1)=k2k(k+1)+(k+1)=(kk+1)20,\2k(k+1)+12(k+1),Qk+10,\2+1k+12k++1+2+1+k+1=1k+1, 又如:Q2k+12=\2k+2++1對任意k∈N*，都有1kk+kk+1證法111因此1+++L+2+2(1)+2(2)+L+2(nn1)= 設f(n)=2n(1+=22=2(kk1),13那么對任意k∈N* 都有+1+L+1n),f(k+1)f(k)=2(k+1k)==1k+11k+1[2(k+1)2k(k+1)1][(k+1)2k(k+1)+k]=1k+1(k+1k)2k+10∴f(k+1)＞f(k)因此，對任意n∈N* 都有f(n)＞f(n－1)＞?＞f(1)=1＞0，111++L+2n.∴1+23例2求使x+y≤ax+y(x＞0，y＞0)恒成立的a 命題意圖本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學生邏輯分析能力 知識依托該題實質是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關性質把a呈現(xiàn)出來，等價轉化的思想是解決題目的突破口，然后再錯解分析 本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時我們習慣是將x、y與cosθ、sinθ來對應進行換元，即令x=cosθ，y=sinθ(0＜θ＜p2)，這樣也得a≥sinθ+cosθ其原因是(1)縮小了x、y的范圍(2)這樣換元相當于本題又增加了“x、y=1技巧與方法 除了解法一經常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a滿足不等關系，a≥f(x)，則amin=f(x)max 若 a≤f(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本事實，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題還有三角換元法求最值用的恰當好處，可以把原問題轉化由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得x+y+2xy≤a2(x+y)，即2xy≤(a2－1)(x+y)，∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，①②當且僅當x=y時，②中有等號成立比較①、②得a的最小值滿足a2－1=1，∴a2=2，a=2(因a＞0)，∴a設u=x+y(x+y)2x+y+2xy ===x+yx+yx+y∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2xy(當x=y時“=”成立)，∴2xy2xy≤1，的最大值是1 x+yx+y從而可知，u的最大值為+1=2，又由已知，得a≥u，∴a的最小值為∵y＞0，∴原不等式可化為x+1≤ayx+1，y設xp=tanθ，θ∈(0，)y2∴tanθ+1≤a 即tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+又∵sin(θ+p4)，③ p4)的最大值為1(此時θ=p4)由③式可知a例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1求證(a+11)(b+)ba(分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤1或ab≥8 4∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤(均值代換法)1，從而得證 4設a=11+t1，b=+t222∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜11，|t2|＜ 2211a2+1b2+1\(a+)(b+)=180。239。4416239。25252。1125即得(a+)(b+)179。要證cc2ab＜a＜c+c2ab只需證c2ab＜ac＜c2ab證明：即證 ｜ac｜＜c2ab即證(ac)2＜c2ab即證 a22ac＜ab