【正文】 42532254+t2+t225=179。1=222。4239。(4sin22a)225179。1比較法比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種。證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2練習(xí)5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜16換元法換元法是許多實(shí)際問(wèn)題解決中可以起到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用，有些問(wèn)題直接證明較為困難，若通過(guò)換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見(jiàn)的是三角換元。例8：已知 x1=y+12=z23，求證：x2+y2+z2≥4314證明：設(shè)x1=y+12=z23=k于是x=k+1，y=zk1，z=3k+2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k1)2+(3k+2)2=14(k+514)2+4314≥43147反證法有些不等式從正面證如果不好說(shuō)清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。1構(gòu)造函數(shù)法例11：證明不等式：x12x ＜x2（x≠0）證明：設(shè)f（x）=x12xx2（x≠0）∵f(x)=x12x+x2x2x2x1+x2=x12x［1(12x)］+x2=x12xx+x2=f（x）∴f（x）的圖像表示y軸對(duì)稱(chēng)∵當(dāng)x＞0時(shí)，12x＜0，故f（x）＜0∴當(dāng)x＜0時(shí)，據(jù)圖像的對(duì)稱(chēng)性知f（x）＜0∴當(dāng)x≠0時(shí)，恒有f（x）＜0 即x12x＜x2（x≠0）練習(xí)9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：bb2ab＜a＜b+b2ab2構(gòu)造圖形法例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）f（b）|＜ |ab|分析：由1+x2 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(10)2+(x0)2于是如下圖，設(shè)A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2|AB|=|ab|又0A||0B＜|AB|∴|f(a)f(b)|＜|ab|練習(xí)10：設(shè)a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(ac)+c(bc)≤ab10添項(xiàng)法某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項(xiàng)”技巧，能得到快速求解的效果。正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz錯(cuò)解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz錯(cuò)因：根據(jù)不等式的性質(zhì)：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡(jiǎn)得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz 設(shè)x+y0，n為偶數(shù)，求證yn1xn+xn1yn≥1x 1y錯(cuò)證：∵yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnynn為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xnyn和xn1yn1同號(hào)，∴yn1xn+xn1yn≥ 1x1y錯(cuò)因：在x+y0的條件下，n為偶數(shù)時(shí)，xnyn和xn1yn1不一定同號(hào)，應(yīng)分x、y同號(hào)和異號(hào)兩種情況討論。例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立）證明：∵a、b、c∈R+∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a證明：解設(shè)p+q＞2，那么p＞2q∴p3＞（2q）3=812q+6q2q3將p3+q3 =2，代入得 6q212q+6＜0即6（q1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤2練習(xí)7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞：a＞0，b＞0，c＞08數(shù)學(xué)歸納法與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通?？紤]用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。例若x、y∈R+,且 xy=1 A=(x1y)(y+1y)。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時(shí)，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較）例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來(lái)說(shuō)明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。222。ab1125 即(a+)(b+)179。222。0ab4ab44ab4ab 1125\(a+)(b+)179。例求證：n∈N*,n≥3時(shí)，2n 2n+1 例gx2+(b1)2的定義域是A=[a,b)，其中a,b∈R+,a(x)=(1)Aax若x1∈Ik=[k2,(k+1)2), x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，再證明不等式。b＜n+1nnn+2n+119．設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈(0，1)，an＝3－an1n＝2，3，4，….2（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝a3－2an，證明bn＜bn+1，其中n為正整數(shù)． 20．已知數(shù)列{an}中a1＝2，an+1＝(2－1)(an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{an}中b1＝2，bn+1＝3bn＋4n＝1，2，3，….2＜bn≤a4n3，n＝1，2，3，… 2bn＋321．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f162。1a+(n179。1對(duì)任意的n206。(165。f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立219。1\4sin2a179。.ab4解法三:三角代換法Qa+b=1,a0,b0江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）230?；騛b179。b1c1a1a2b2c2a+b+c++179。234。233。7249。7249。:發(fā)現(xiàn)作差變形后符號(hào)很難判斷,且無(wú)法化簡(jiǎn),考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商, 判斷比值和1的大小關(guān)系,:Qab0,(ab)aba+b20,\將不等式兩邊相除，ba2baa=()2 baabb 得(ab)a+b2=aab2bbaa2==b時(shí),()baab10, 當(dāng)0ba時(shí)，b2baaa02()()=,bbbaaa0aab2()()=1.10 當(dāng)0ab時(shí)，,同理可得bbb2 綜上所述,對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a,b都有(ab)a+b2163。d疊加可得ab+bc+ca179。(x)0,所以F(x)在R上為增函數(shù)，f(a)f(b)\af(a)bf(b)Q0ab,\ 得證.【啟迪】：把條件進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形后,很容易發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),因此可以構(gòu)造出F(x),【例5】 設(shè)a,b,c,d206。(1sin2q)r163。2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無(wú)聯(lián)系,但發(fā)現(xiàn)x+ 換元法進(jìn)行嘗試,:因?yàn)?1163。(x)0∴f39。f(a))那么要證不等式,只要求函數(shù)的最小值不超過(guò)0就可得證． 【例2】 當(dāng)x206。)上為減函數(shù), 于是函數(shù)f(x)在(1,+165。g(0)=0,即ln(x+1)+11179。當(dāng)x206。3 構(gòu)造形似函數(shù) 2 從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)極值。extreme value。2 換元法構(gòu)造函數(shù)ln(x+1)163。(x)0 , 即g(x)在x206。(x)=1(左邊得證).x+11x1= x+1x+1 ∴ 當(dāng)1x0時(shí),f162。0∴ ln(x+1)163。(x)=ln(1+x)+2ln(又得,f39。(x)f39。2,所以可設(shè)x=rcosq,y=rsinq，22r2163。 222122163。3d分析:本題初看含有四個(gè)未知量,且題目中只含一條不等式,因此解題時(shí)必須從這條不等式入手,:把a(bǔ)看成未知量進(jìn)行化簡(jiǎn),得一元二次不等式+2(b+c)a+(bc)2+4d163。(x)= Qbe,xb \lnb1, \b1\f162。2時(shí),+1n+22n 分析:本題分為兩小題,第一小題是考察數(shù)列的知識(shí),是為第二小題做的鋪墊,在做第二小題時(shí),需要采用放縮來(lái)證明,(snsn1)證:(1)當(dāng)n179。235。0,解得1163。7249。 又由基本不等式得，221b+c1c+a(1b)c163。b1c1a1 \1125【例1】 已知a0,b0,且a+b=1,求證(a+)(b+)179。 又因?yàn)?=a+b179。231。25,24sin2a41125 \(a+)(b+)179。安徽高考)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈N*，其中c為實(shí)數(shù).(Ⅰ)證明：an∈[0，1]對(duì)任意n∈N*11成立的充分必要條件是c∈[0，1]；(Ⅱ)設(shè)0＜c＜，證明：an≥1－(3c)n1，n∈N*；（Ⅲ）設(shè)0＜c＜，證明：a12＋a22＋…＋an2332＞n＋1－n∈N*.1－3c題型三 求數(shù)列中的最大值問(wèn)題求解數(shù)列中的某些最值問(wèn)題，有時(shí)須結(jié)合不等式來(lái)解決，其具體解法有：(1)建立目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；(2)首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；(3)利用條件中的不等式關(guān)系確定最值.【例5】(082,n206。N),記=Tk7.229。n12n1248。直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（?。?，來(lái)證明不等式成立。=n(xa)；n（Ⅱ）設(shè)fn(x)=xn－(xa)，對(duì)任意n≥a，證明f ’n+1(n+1)＞（n+1）f ’n（n）。2139239。179。41= 42sin22a+16179。24sin2a254。例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：cc2ab＜a＜c+c2ab分析：觀察求證式為一個(gè)連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價(jià)于 ｜ac｜＜c2ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。s2m2θ+cos2θcosθ(1+12k+1)①要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+122ac)=3abc當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時(shí)，等