【正文】 小關(guān)系進行比較。2239。這種引參的思想是高中數(shù)學(xué)常用的重要方法。試一試行嗎？a2b+cb2+(b+c)≥2a2b+cb2(b+c)=2aa+cc2+(a+c)≥2a+c(a+c)=2ba+b+(a+b)≥2c2a+b(a+b)=2c相加后發(fā)現(xiàn)不行，a，b，c的整式項全消去了。不等號兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。N*,且+14n1,a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列．(1)證明：a2=(2)求數(shù)列{an}的通項公式；an=2n1(3)證明：對一切正整數(shù)n，有11++a1a2a2a3+11． anan+12{an}=1,2Sn12=an+1n2n,n206。求證：1+x和1+放縮法證明不等式：+111++11180。R。.abbcac，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：1（Ⅰ）ab+bc+ac163。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。當(dāng)a0時，f(x)=ax2+bx+c0(或0)。：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。1)；x2y2已知2+2=1，可設(shè)x=acosq,y=bsinq；abx2y2已知22=1，可設(shè)x=asecq,y=btanq；ab判別式法：判別式法是根據(jù)已知或構(gòu)造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)的根、解集、函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式所應(yīng)滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方法。a+b 分析法：從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法叫分析法，分析法的思想是“執(zhí)果索因”：即從求證的不等式出發(fā)，探求使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。⑶判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號。⑵變形：對差進行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和。a+b163。r163。：正難則反。：利用二次函數(shù)的判別式的特點來證明一些不等式的方法。注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導(dǎo)致解決失敗。)114+179。a+b+,b,c206。R,x0,y0,且x+y2。n2{an}的前n項和為Sn，滿足4Sn=ann206。bca=bc=ab+(ab)(ac)a0bcacaAB=a+d(b+c)=a+ =ab c(ab)a【例4】 a，b，c∈R，求證：a4+b4+c4≥(a+b+c)。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達(dá)到目的。換元有下列三種途徑：途徑1：用均值換元法消元： 令 x=2a2+m，y=aa22m22則 x+y=(+m)+(m)=2m+222aa22≥a22途徑2：代入消元法： y=ax，0a2)2+a22≥a22中天教育咨詢電話：04768705333第2頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考途徑3：三角換元法消元：令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]2p2013年數(shù)學(xué)VIP講義則 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)22sin2θcos2θ]=a[12(sin2θ)]=a(12212212sin2θ)≥a22注：為了達(dá)到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當(dāng)?shù)膮?shù)，也就是找到一個中間變量表示x，y。(a+b)4a即要證237。在ab0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx+3+8，求證：對任意實數(shù)a，b，恒有f(a)，采用常規(guī)方法難以著手。?177。logbc=4，則下列各式中一定正確的是 A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c已知a，b，c0，且a+bc，設(shè)M=a4+a+bb+cc4+c，N=，則MN的大小關(guān)系是A、MN B、M=N C、M已知函數(shù)f(x)=xx3，x1，x2，x3∈R，且x1+x20，x2+x30，x3+x10，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負(fù)都有可能若a0，b0，x=111(+)2ab1a+b1ab，y=，z=，則A、x≥yz B、x≥zy C、y≥xz D、yz≥x設(shè)a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3abb B、abab+ab C、（二）填空題設(shè)a0，b0，a≠b，則aabb與abba的大小關(guān)系是__________。≤+b383+c38。a+cb+c（加法保序性）（3）ab,c0222。acbd.（4）ab0,dc0,222。a(a0)219。|a|+|b|（三角不等式）.（4）|a1+a2+L+an|163。a1+2++L+..n2232n25．利用基本不等式證明a2+b2+c2179。x1+x2+L+xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2+x3+L+xn+(a+1)(b+1)(a+c)3(b+c)3179。2ca，3式相加證明.（2）：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，,b,c對稱，不妨a179。bccb,ccaa179。algb+blga,類似例4可證alga+blgb+clgc179。bn，則a1b1+a2b2+L+anbn（順序和）179。a+b+c219。組a179。1,b2179。2bc,c2+a2179。.右側(cè)的可理解為(x1+x2+x3).再如已知x1+x2+x3=0，3332+x3x1163。 評述::原不等式等價于n+1(1+)1+平均，+11nn1，故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個數(shù)的幾何n+111111n+21(1+)n=(1+)L(1+)1(1+)L(1+)+1==1+.n+1nnnnnn+1n+114424431442443n個n+1 評述:（1）利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過分拆和轉(zhuǎn)化，(1+1n+11n+2)(1+).nn+1（2）本題亦可通過逐項展開并比較對應(yīng)項的大小而獲證，:先證左邊不等式111++L+219