【文章內容簡介】 θ∈(0，]2p2013年數(shù)學VIP講義則 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)22sin2θcos2θ]=a[12(sin2θ)]=a(12212212sin2θ)≥a22注：為了達到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當?shù)膮?shù)，也就是找到一個中間變量表示x，y。這種引參的思想是高中數(shù)學常用的重要方法。【例7】 已知ab0，求證：(ab)8a2a+b2ab(ab)8b2。12所證不等式的形式較復雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，次等），難以從某個角度著手。故考慮用分析法證明，即執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件。實際上就是對所證不等式進行適當?shù)幕?、變形，實際上這種變形在相當多的題目里都是充要的。a+b2ab=a+b2ab2b)(a(a+=(a2b)2ab=(a+b)b)(a8a2所證不等式可化為∵ ab0 ∴ ab ∴ ab0b)2(a2b)2(a+b)(a8b2b)2∴ 不等式可化為：(a+4ab)21(a+4bb)22236。239。(a+b)4a即要證237。2239。238。4b(a+b)236。239。a+b2a只需證237。239。2ba+b238。在ab0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx+3+8，求證：對任意實數(shù)a，b，恒有f(a)，采用常規(guī)方法難以著手。根據表達式的特點，借助于函數(shù)思想，可分別求f(a)及g(b)=b24b+f(a)=112的最值，看能否通過最值之間的大小關系進行比較。=82(2)a2a24aa+3+8+8=2a8+82a≤282a=82a842=2令 g(b)=b24b+11232 ≥32 g(b)=(b2)2+中天教育咨詢電話：04768705333第3頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考∵ 3222013年數(shù)學VIP講義∴ g(b)f(a)注：本題實際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數(shù)而已，這種思路在兩數(shù)大小比較時曾講過。由此也說明，實數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎。【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，當|x|≤1時，有|f(x)|≤1，求證：（1）|c|≤1，|b|≤1；（2）當|x|≤1時，|ax+b|≤2。這是一個與絕對值有關的不等式證明題，除運用前面已介紹的不等式性質和基本不等式以外，還涉及到與絕對值有關的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥a，||a||b||≤|a177。b|≤|a|+|b|，|a1177。a2177。?177。an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。就本題來說，還有一個如何充分利用條件“當|x|≤1時，|f(x)|≤1”的解題意識。從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當x=1時，|f(1)|≤1；當x=1時，|f(1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個不等式，即把f(0)，f(1)，f(1)化作已知量，去表示待求量?！?f(1)=a+b+c，f(1)=ab+c ∴ b=12[f(1)f(1)] 12|f(1)f(1)|≤12[|f(1)|+|f(1)|]≤12(1+1)≤1 ∴ |b|=（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調性求g(x)=ax+b的值域。當a0時，g(x)在[1，1]上單調遞增 ∴ g(1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)f(0)≤|f(1)f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(1)=a+b=f(0)f(1)=[f(1)f(0)]≥|f(1)f(0)|≥[|f(1)|+|f(0)|]≥2 ∴2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當a思路二：直接利用絕對值不等式為了能將|ax+b|中的絕對值符號分配到a，b，可考慮a，b的符號進行討論。當a0時|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對b討論① b≥0時，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b評注：本題證明過程中，還應根據不等號的方向，合理選擇不等式，例如：既有|ab|≥|a||b|，又有|ab|≥|b||a|，若不適當選擇，則不能滿足題目要求。中天教育咨詢電話：04768705333第4頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考2013年數(shù)學VIP講義設a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是 A、C、1a12+1b1a≤+141b B、≤1 D、141a≤+1a+1b≤≤1b≥1已知a，b，c均大于1，且logaclogbc=4，則下列各式中一定正確的是 A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c已知a，b，c0，且a+bc，設M=a4+a+bb+cc4+c，N=，則MN的大小關系是A、MN B、M=N C、M已知函數(shù)f(x)=xx3，x1，x2，x3∈R，且x1+x20，x2+x30，x3+x10，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負都有可能若a0，b0，x=111(+)2ab1a+b1ab，y=，z=，則A、x≥yz B、x≥zy C、y≥xz D、yz≥x設a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3abb B、abab+ab C、（二）填空題設a0，b0，a≠b，則aabb與abba的大小關系是__________。若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號填空）。1當00且t≠1時，logat與log21t+1a22aba+1b+1 D、a+b≥2(ab1)22的大小關系是__________。n1若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則an+bn與c（其中n∈N，n2）的大小關系是________________。（三）解答題1已知a0，b0，a≠b，求