不等式證明放縮法(編輯修改稿)
2025-08-20 12:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來證明不等式，也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟。證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：一. “添舍”放縮通過對(duì)不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。例1. 設(shè)a，b為不相等的兩正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證。證明：由題設(shè)得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋（a＋b）2，即（a＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜，故有1＜a＋b＜。例2. 已知a、b、c不全為零，求證：證明：因?yàn)椋?。所以? 分式放縮一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。例3. 已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以，，所以，又a，b，c為三角形的邊，故b+c＞a，則為真分?jǐn)?shù)，則，同理，故.綜合得。三. 裂項(xiàng)放縮若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來解題。例4. 已知n∈N*，求。證明：因?yàn)?，則，證畢。例5. 已知且，求證：對(duì)所有正整數(shù)n都成立。證明：因?yàn)椋?，又，所以，綜合知結(jié)論成立。例6 設(shè)數(shù)列滿足 （Ⅰ）證明對(duì)一切正整數(shù)成立；（Ⅱ）令，判定與的大小，并說明理由（04年重慶卷理科第（22）題）簡(jiǎn)析 本題有多種放縮證明方法，這里我們對(duì)（Ⅰ）進(jìn)行減項(xiàng)放縮，有法1 用數(shù)學(xué)歸納法（只考慮第二步）；法2 則.四. 利用重要不等式放縮利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡(jiǎn)解。例7 設(shè)求證解析 此數(shù)列的通項(xiàng)為，即 注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！ ②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用。例8已知為正數(shù)，且，試證：對(duì)每一個(gè)，.（88年全國(guó)聯(lián)賽題）簡(jiǎn)析 由得，又，故，而，令，則=，因?yàn)?，倒序相加?，而，則=，所以，即對(duì)每一個(gè)，.2．利用有用結(jié)論例9 求證簡(jiǎn)析 本題可以利用的有用結(jié)論主要有： 法1 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)可得 即 法2 利用貝努利不等式的一個(gè)特例(此處)得 注：例9是1985年上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成1998年全國(guó)高考文科試題；進(jìn)行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。如理科題的主干是：證明(可考慮用貝努利不等式的特例) 例10 已知函數(shù)求證：對(duì)任意且恒成立。（90年全國(guó)卷壓軸題） 簡(jiǎn)析
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