放縮法在不等式證明中的應(yīng)用本科論(編輯修改稿)
2025-02-02 06:15 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 n n n nn ? ? ????，所以0,p sit??， ? ? ? ? ? ?12 2 2 21 1 112n n n pa a a n n n p? ? ??? ???? ? ? ?????? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?1 1 11 1 2 1nn n n n p n p? ? ????? ? ? ?? ?1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 1n n n n n p n p n n p n??? ?? ??? ? ? ???? ? ?? ???? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ??，于是，對 0???，只須1N ????????，當(dāng)nN?時 ? ? ? ? ? ?12 2 2 21 1 1 112n n n pa a a nn n n p ?? ? ?? ????? ? ? ????? ??? ? ?，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則知21 1 1n nn?? ???收斂 適當(dāng)?shù)貙⒎质降姆肿樱ɑ蚍帜福┓糯蠡蚩s小 在分式 中，如果分母不變、分子變大（或變?。﹦t值變大（或變小）；反之，如果分子不變、分母變大（或變?。﹦t值變?。ɑ蜃兇螅?，這是我們在放縮過程中應(yīng)該掌握的結(jié)論 . 贛南師范學(xué)院 2022 屆本科畢業(yè)論文 (設(shè)計） 5 例：已知?????? ???????1 9 9 111 9 8 111 9 8 011s ，求 S的整數(shù)部分 證明：由? ?1 1 1 211nn n n? ? ???，知道 19911211991119911199111 ????????? ????????s (1)。 ? ?1 1 19 80 16 5 2121 1 1 12198019 80 19 80 19 80s ? ? ? ???? ? ??? ????? ,由 （ 1）、（ 2）知 S=165 利用基本不等式 放縮是沒有固定的方式，這要看情況而選，在選擇時重要的還是根據(jù)題意所給的條件來決定的，如下是選擇利用不等式的性質(zhì)來進(jìn)行放縮 例：已知2a?，求證：? ? 1log 1 logaa??? 證明：因為 ，所以10,log 0??? ? 所以? ? ? ? ? ?1log 1 log 1log 1loga aaaa aaa??? ? ? ? ? ? ?log 1 log 12aaaa? ? ???????? ? ?2 22 2log 1 log122a aa a? ??? ? ????? 所以 ? ? 1log 1 logaa??? 利用函數(shù)的單調(diào)性 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性，知道單調(diào)函數(shù)具有增減性，而其增減性正相似于放縮法里面的放大或縮小，其實放大就是往右移動，縮小就是往左邊移動 . 例：已知各項為正數(shù)的數(shù)列? ?na滿足2 1n na a???，求證1na n?： 贛南師范學(xué)院 2022 屆本科畢業(yè)論文 (設(shè)計） 6 證明：（ 1）當(dāng)1n?時，由已知有21 1 2a a a??，于是21 2 0a a? ? ?，所以? ?1110aa??，因為1 0a?，所以1?，即n?當(dāng)時不等式1na n?成立 （ 2）假設(shè)nR時不等式成立，即Ra R?，由已知有21R Ra a a???，因為 ???????，所以2RRaa?在上單調(diào)遞增，所以2 2 21 1 1 1 111R RRR R R R R??????? ? ???，即當(dāng)1nR??時不等式成立，綜合（ 1）、（ 2）知，對nN?時1na n?不等式都成立 利用二項式定理進(jìn)行適度地放縮 在不等式的證明中，如果正面不能進(jìn)行的話，我們要想到作一些相應(yīng)的變形，使題目變成我們熟悉的公式或恒等式 .如二項式定理在不等式證明中的應(yīng)用 例：設(shè)1a?，??且2n?，求證：11n aa n??? 證明：令? ?10nx a x? ? ?，則? ?1 nax??，即證? ?? ?11nxxn??? ? ???，因? ? 2211n nnnnx xcx cx nx???? ?? ?，故? ??11n nxxxnn??? ? ? ???，所以結(jié) 論得證，即11n an??? 放縮的目的 在運用放縮法證明不等式時，我們一定要認(rèn)真審題，我們應(yīng)該明白我們應(yīng)該怎么放縮，這樣放的目的是什么，這就是放縮過程中的重要性，如： 有利于約分 我們知道放縮法就是放與縮的過程，重要的是我們?nèi)绾畏藕涂s，使它達(dá)到我們要證明的問題，像在分式中，如果式子不能直接化簡，我們可以給式子放或縮，使它能夠含有公因式這樣就可以約去公因式達(dá)到化簡，明白的說就是讓分母不變、分子變大（或變小）使其值變大或變??；反之，讓分子不變、分母變大（或變小）使值變?。ɑ蜃兇?，） . 如 下題 就是利用分母變
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