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正文內(nèi)容

數(shù)列型不等式的放縮技巧九法(編輯修改稿)

2024-07-22 02:18 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 部分放縮,當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮:;證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論。三 添減項(xiàng)放縮 上述例4之法2就是利用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行減項(xiàng)放縮的例子。例11 設(shè),求證.簡(jiǎn)析 觀察的結(jié)構(gòu),注意到,展開(kāi)得,即,得證.例12 設(shè)數(shù)列滿足 (Ⅰ)證明對(duì)一切正整數(shù)成立;(Ⅱ)令,判定與的大小,并說(shuō)明理由(04年重慶卷理科第(22)題)簡(jiǎn)析 本題有多種放縮證明方法,這里我們對(duì)(Ⅰ)進(jìn)行減項(xiàng)放縮,有法1 用數(shù)學(xué)歸納法(只考慮第二步);法2 則四 利用單調(diào)性放縮1. 構(gòu)造數(shù)列如對(duì)上述例1,令則,遞減,有,故 再如例4,令則,即遞增,有,得證! 注:由此可得例4的加強(qiáng)命題并可改造成為探索性問(wèn)題:求對(duì)任意使恒成立的正整數(shù)的最大值;同理可得理科姊妹題的加強(qiáng)命題及其探索性結(jié)論,讀者不妨一試! 2.構(gòu)造函數(shù)例13 已知函數(shù)的最大值不大于,又當(dāng)時(shí)(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)設(shè),證明(04年遼寧卷第21題)解析 (Ⅰ)=1 ;(Ⅱ)由得 且用數(shù)學(xué)歸納法(只看第二步):在是增函數(shù),則得例14 數(shù)列由下列條件確定:,.(I)證明:對(duì)總有;(II)證明:對(duì)總有(02年北京卷第(19)題) 解析 構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)。 當(dāng)時(shí)在遞增,故 對(duì)(II)有,構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù),故有,得證。注:①本題有著深厚的科學(xué)背景:是計(jì)算機(jī)開(kāi)平方設(shè)計(jì)迭代程序的根據(jù);同時(shí)有著高等數(shù)學(xué)背景—數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限: ②是遞推數(shù)列的母函數(shù),研究其單調(diào)性對(duì)此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。類題有06年湖南卷理科第19題:已知函數(shù),數(shù)列{}滿足:證明:(ⅰ)。(ⅱ).(證略)五 換元放縮例15 求證 簡(jiǎn)析 令,這里則有,從而有 注:通過(guò)換元化為冪的形式,為成功運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。例16 設(shè),
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