數(shù)列型不等式的放縮技巧九法(編輯修改稿)
2024-07-22 02:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論。三 添減項(xiàng)放縮 上述例4之法2就是利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行減項(xiàng)放縮的例子。例11 設(shè)，求證.簡析 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得，即，得證.例12 設(shè)數(shù)列滿足 （Ⅰ）證明對一切正整數(shù)成立；（Ⅱ）令，判定與的大小，并說明理由（04年重慶卷理科第（22）題）簡析 本題有多種放縮證明方法，這里我們對（Ⅰ）進(jìn)行減項(xiàng)放縮，有法1 用數(shù)學(xué)歸納法（只考慮第二步）；法2 則四 利用單調(diào)性放縮1． 構(gòu)造數(shù)列如對上述例1，令則，遞減，有，故 再如例4，令則，即遞增，有，得證！ 注：由此可得例4的加強(qiáng)命題并可改造成為探索性問題：求對任意使恒成立的正整數(shù)的最大值；同理可得理科姊妹題的加強(qiáng)命題及其探索性結(jié)論，讀者不妨一試！ 2．構(gòu)造函數(shù)例13 已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)時(shí)（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，證明（04年遼寧卷第21題）解析 （Ⅰ）=1 ；（Ⅱ）由得 且用數(shù)學(xué)歸納法（只看第二步）：在是增函數(shù)，則得例14 數(shù)列由下列條件確定：，．（I）證明：對總有；(II)證明：對總有（02年北京卷第（19）題） 解析 構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)。 當(dāng)時(shí)在遞增，故 對(II)有，構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證。注：①本題有著深厚的科學(xué)背景：是計(jì)算機(jī)開平方設(shè)計(jì)迭代程序的根據(jù)；同時(shí)有著高等數(shù)學(xué)背景—數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限： ②是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。類題有06年湖南卷理科第19題：已知函數(shù),數(shù)列{}滿足:證明:(ⅰ)。(ⅱ).（證略）五 換元放縮例15 求證 簡析 令，這里則有，從而有 注：通過換元化為冪的形式，為成功運(yùn)用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。例16 設(shè)，
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