高考數(shù)學數(shù)列不等式證明題放縮法十種方法技巧總結(編輯修改稿)
2025-09-07 11:16 本頁面
【文章內容簡介】 的結論來放縮通項，可得 【注】上述證明用到部分放縮，當然根據(jù)不等式的性質也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結論。例12 [簡析] 觀察的結構，注意到，展開得即，得證.例13[簡析] 本題有多種放縮證明方法，這里我們對（Ⅰ）進行減項放縮，有法1 用數(shù)學歸納法（只考慮第二步）；法2 則例14 [解析] （Ⅰ）=1 ；（Ⅱ）由得 且用數(shù)學歸納法（只看第二步）：在是增函數(shù)，則得例15 [解析] 構造函數(shù)易知在是增函數(shù)。當時在遞增，故。對(II)有，構造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證?！咀ⅰ竣贁?shù)列單調遞減有下界因而有極限：②是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調性對此數(shù)列本質屬性具有重要的指導作用。例16 [簡析] 令，這里則有，從而有注：通過換元化為冪的形式，為成功運用二項展開式進行部分放縮起到了關鍵性的作用。例17 [簡析] 令，則，應用二項式定理進行部分放縮有，注意到，則（證明從略），因此.7 轉化為加強命題放縮例18 [解析] 用數(shù)學歸納法推時的結論，僅用歸納假設及遞推式是難以證出的，因為出現(xiàn)在分母上！可以逆向考慮：故將原問題轉化為證明其加強命題：對一切正整數(shù)有（證略）例19 [簡析] 將問題一般化：先證明其加強命題 用數(shù)學歸納法，只考慮第二步：。因此對一切有 例20 [解析]：（1）將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個等比數(shù)列，其首項為1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n179。1）……1176。（2）證：據(jù)1176。得，a1a2…an＝，為證a1a2……an2n！，只要證n206。N*時有……2176。 顯然，左端每個因式都是正數(shù)，先證明一個加強不等式： 對每個n206。N*，有179。1－（）……3176。（用數(shù)學歸納法，證略）利用3176。得179。1－（）＝1－＝1－。故2176。式成立，從而結論成立。8. 分項討論例21 [簡析] （Ⅰ）略，（Ⅱ） ；（Ⅲ）由于通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：當且為奇數(shù)時（減項放縮），于是, ①當且為偶數(shù)時，②當且為奇數(shù)時，（添項放縮）由①知。由①②得證。9. 借助數(shù)學歸納法例22 [解析] 科學背景：直接與凸函數(shù)有關?。á瘢┞?，只證（Ⅱ）：考慮試題的編擬初衷，是為了考查數(shù)學
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