【文章內(nèi)容簡介】 助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。以下介紹構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法：移項法構(gòu)造函數(shù) 【例1】 已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：當(dāng)x1時，恒有11163。ln(x+1)163。x x+1作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)=換元法構(gòu)造函數(shù)證明【例3】（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln（從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf162。(x)－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足ab，求證：．a(chǎn)f(a)bf(b)主元法構(gòu)造函數(shù)1223x+：在區(qū)間(1,+165。)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x23的圖象的下方；111+1)23 +x)x,g(x)=xlnx 例．（全國）已知函數(shù)f(x)=ln((1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設(shè)0ab,證明 ：0g(a)+g(b)2g（構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 例．已知函數(shù)f(x)=aexa+b)(ba) 2(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍。(2)若a=1,求證:x＞0時,f(x)1+x（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）例：證明當(dāng)x0時,(1+x)例：證明當(dāng)bae,證明abba【思維挑戰(zhàn)】（2007年，安徽卷）設(shè)a179。0,f(x)=x1lnx+2alnx22求證：當(dāng)x1時，恒有xlnx2alnx+1，1+1xe1+x2（2007年，安徽卷）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=52122x+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a0，且b=a3alna，求證：f(x)179。g(x)22xb，求證：對任意的正數(shù)a、b，恒有l(wèi)nalnb179。+xa已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)（2007年，陜西卷）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf162。(x)f(x)≤0，對任意正數(shù)a、b，若a b，則必有（）（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)第四篇：構(gòu)造函數(shù)證明不等式的八種方法[最終版]構(gòu)造函數(shù)證明不等式的八種方法一、移項法構(gòu)造函數(shù)例：已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：當(dāng)x1時，但有1已知函數(shù)f(x)=aex1163。ln(x+1)163。x 1+x12x（1）若f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍。2（2）若a=1，求證：x0時，f(x)1+x二、作差法構(gòu)造函數(shù)證明1例：已知函數(shù)f(x)=x2+lnx，求證：在區(qū)間(1,+165。)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)22g(x)=x3的圖象下方。3思想：抓住常規(guī)基本函數(shù)，利用函數(shù)草圖分析問題已知函數(shù)f(x)=n+lnx的圖象在點(diǎn)P(m,f(x))處的切線方程為y=x，設(shè)n（1）求證：當(dāng)x179。1時，g(x)179。0恒成立；（2）試討論關(guān)于x的方g(x)=mx2lnx，xn程mxg(x)=x32ex2+tx根的個數(shù)。x換元法構(gòu)造函數(shù)證明例：證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(+1)證明：對任意的正整n，不等式ln(+1)已知函數(shù)f(x)=ln(ax+1)+xxax，（1）若321n11，都成立。n2n31n113都成立。2nn2為y=f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a3的值；（2）若y=f(x)在[1,+165。)上增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（3）若a=1時，方程f(1x)(1x)3=b有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。x從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明例1 若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf(x)f(x)恒成立，且常數(shù)a,b滿足39。ab，求證：af(a)bf(b)主元法構(gòu)造函數(shù)(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx，（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)0ab，證明：0g(a)+g(b)2g（a+b)(ba)ln22構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性例1：已知函數(shù)f(x)=aex12（1）若f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍； x，2（2）若a=1，求證：x0時，f(x)1+x對數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）例1：證明當(dāng)x0時，(1+x)1+1xe1+x構(gòu)造形似函數(shù)例1：證明當(dāng)bae，證明ab已知m、n都是正整數(shù)，且1mn，證明：(1+m)(1+n)思維挑戰(zhàn)設(shè)a179。0，f(x)=x1lnx+2alnx，求證：當(dāng)x1時，恒有xlnx2alnx+1已知定義在正實(shí)數(shù)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=且b=已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)f(x)是定義在(0,+165。)上的非負(fù)可導(dǎo)數(shù)，且滿足xf(x)f(x)163。0，對任意正數(shù)a、b，若ab，則必有（）(x)163。bf(a)(a)163。af(b)(a)163。f(b)(b)163。f(a)39。2nmba212x+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a0，252a3a2lna，求證：f(x)179。g(x)2xb，求證：對任意的正數(shù)a、b恒有l(wèi)nalnb179。1 1+xa第五篇：構(gòu)造法證明函數(shù)不等式構(gòu)造法證明函數(shù)不等式利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)．解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵．一、移項法構(gòu)造函數(shù)【例1】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：當(dāng)x1時，恒有11163。ln(x+1)163。x