不等式證明的若干種方法畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-25 09:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志。 2 利用常用方法證明不等式 比較法所謂比較法，就是通過兩個(gè)實(shí)數(shù)與的差或商的符號(hào)（范圍）確定與大小關(guān)系的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑。即通過“，(為作差法)或，(為作商法)?！眮泶_定，大小關(guān)系的方法。例 已知：，求證：.分析：兩個(gè)多項(xiàng)式的大小比較可用作差法證明 ，故得 . 故原不等式成立。例 設(shè)，求證：.分析：對(duì)于含有冪指數(shù)類的用作商法證明 因?yàn)? ，所以 ，.而 ，故 ． 故原不等式成立。綜合法就是從已知式證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推出欲證的不等式，通過一系列已確定的命題（包含不等式的性質(zhì)，已掌握的重要不等式）逐步推演，從而得到所要求證的不等式成立，這種方法叫做綜合法。例 已知且 求證： ．證： 所以兩邊同時(shí)乘 得即．故原不等式成立。從求證的不等式出發(fā)分析不等式成立的條件，把證明這個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為判定使這個(gè)不等式成立的條件是否具備的問題。如果能夠肯定這些條件都以具備，那么就可以判定這個(gè)不等式成立，這種證明方法叫做分析法。例 求證： ． 證即：因?yàn)? 因?yàn)闉榱俗C明原不等式成立，只需證明即 即 即 故原不等式成立。換元法實(shí)質(zhì)上就是變量代換法，即對(duì)所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作適當(dāng)?shù)淖儞Q，以達(dá)到化難為易的目的。例 －1≤－x≤．證明：∵1－x≥0，∴－1≤x≤1，故可設(shè)x = cos，其中0≤≤．則－x =－cos= sin－cos=sin(－)，∵－≤－≤，∴－1≤sin(－)≤，即－1≤－x≤．故原不等式成立。在對(duì)稱式(任意互換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量進(jìn)行代換，代換的目的是減少變量的個(gè)數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡。例 已知a，bR，且a＋b = 1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥．證明：∵a，bR，且a＋b = 1，∴設(shè)a =＋t，b=－t， (tR)則(a＋2)＋(b＋2)= (＋t＋2)＋(－t＋2)= (t＋)＋(t－)= 2t＋≥．∴(a＋2)＋(b＋2)≥．故原不等式成立。反證法的原理是：否定之否定等于肯定。反證法的思路是“假設(shè)矛盾肯定”，采用反證法時(shí)，應(yīng)從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過程中，每一步推理必須是正確的。例 已知 求證 ： ．證：假設(shè)成立則．即 ．．． ．由此得，這是不可能的，得出矛盾。 ．故原不等式成立。放縮法是證明不等式的一種特殊的方法。從不等式的一邊入手，逐漸放大或縮小不等式，直到不等式的另一邊，這種方法叫做放縮法。例 求證： 證：有．．所以 ．故原不等式成立。
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