證明不等式的幾種常用方法(編輯修改稿)
2025-05-05 04:10 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，三個(gè)同向不等式兩邊分別相加，得＞，矛盾，所以假設(shè)不成立，∴原結(jié)論成立．例6 若0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2，求證：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同時(shí)大于1．證明：反證法假設(shè)那么≥＞1，①同理＞1，②＞1，③①＋②＋③，得3＞3矛盾，即假設(shè)不成立，故(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同時(shí)大于1．二、三角換元法對(duì)于條件不等式的證明問(wèn)題，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮用三角代換，將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題．若變量字母x的取值范圍與sin或cos的變化范圍相同，故可采用三角換元，把所要證的不等式轉(zhuǎn)換為求三角函數(shù)的值域而獲證．一般地，題設(shè)中有形如x＋y≤r，＋= 1或－= 1的條件可以分別引入三角代換 (| r |≤1)，或，其中的取值范圍取決于x，y的取值范圍，凡不能用重要不等式證明的問(wèn)題時(shí)，一般可以優(yōu)先考慮換元(代數(shù)換元或三角換元)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性最終把問(wèn)題解決．在三角換元中，由于已知條件的限制作用，根據(jù)問(wèn)題需要，可能對(duì)引入的角度有一定的限制，應(yīng)特別引起注意，否則可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果．例2 已知1≤x＋y≤2，求證：≤x－xy＋y≤3．證明：∵1≤x＋y≤2，∴可設(shè)x = rcos，y = rsin，其中1≤r≤2，0≤＜．∴x－xy＋y= r－rsin= r(1－sin)，∵≤1－sin≤，∴r≤r(1－sin)≤r，而r≥，r≤3，∴ ≤x－xy＋y≤3．例2 已知x－2xy＋y≤2，求證：| x＋y |≤．證明：∵x－2xy＋y= (x－y)＋y，∴可設(shè)x－y = rcos，y = rsin，其中0≤r≤，0≤＜．∴| x＋y | =| x－y＋2y | = | rcos＋2rsin| = r|sin(＋ractan)|≤≤．
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