【文章內(nèi)容簡介】 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz錯因：根據(jù)不等式的性質(zhì)：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz 設(shè)x+y0，n為偶數(shù)，求證yn1xn+xn1yn≥1x 1y錯證：∵yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnynn為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xnyn和xn1yn1同號，∴yn1xn+xn1yn≥ 1x1y錯因：在x+y0的條件下，n為偶數(shù)時，xnyn和xn1yn1不一定同號，應分x、y同號和異號兩種情況討論。正解：應用比較法：yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnyn① 當x0,y0時，(xnyn)(xn1yn1)≥ 0，(xy)n 0所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn≥0故：yn1xn+xn1yn≥ 1x1y② 當x,y有一個是負值時，不妨設(shè)x0,y0，所以x|y|又n為偶數(shù)時,所以(xnyn)(xn1yn1)0 又(xy)n 0，所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn ≥0即 yn1xn+xn1yn≥ 1x1y綜合①②知原不等式成立第三篇：不等式證明若干方法安康學院 數(shù)統(tǒng)系數(shù)學與應用數(shù)學 專業(yè) 11 級本科生論文（設(shè)計）選題實習報告11級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)《科研訓練2》評分表注：綜合評分179。60的為“及格”； 第四篇：不等式的一些證明方法數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)不等式的一些證明方法[摘要]：不等式是數(shù)學中非常重要的內(nèi)容,不等式的證明是學習中的重點和難點,本文除總結(jié)不等式的常規(guī)證明方法外,給出了不等式相關(guān)的證明方法在具體實例中的應用.[關(guān)鍵詞] 不等式。證明。方法； 應用不等式在數(shù)學中占重要地位,由于其本身的完美性及證明的困難性,使不等式成為各類考試中的熱點試題,證明不等式的途徑是對原不等式作代數(shù)變形，在初等數(shù)學中常用的方法有放縮法、代換法、歸納法、,、中學中有關(guān)不等式的證明方法 （1）比較法：證明不等式的基本方法,適應面寬.①相減比較法—欲證AB,則證AB0.②相除比較法—欲證AB（A0,B0）,則證1.（2）綜合法：利用平均不等式、二次方程根的判別式、二項式定理、數(shù)列求和等等。此方法靈活性大,需反復練習.（3）分析法：當綜合法較困難或行不通時,可考慮此法,（共13頁）AB數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)（4）數(shù)學歸納法：凡與自然數(shù)n有關(guān)的不等式,可考慮此法,但有時使用起來比較困難,探求解題途徑 求證 1+2x4179。2x3+x2分析 用相減比較法證明AB[f(x)]（f(x)g(x)，其中f(x),g(x)同號）,或變形為多個因子的[f(x)]2+[g(x)]乘積、： Q2x42x3x2+1=2x3(x1)(x1)(x+1)=(x1)(2x3x1)=(x1)(2x32x+x1)13=2(x1)2[(x+)2+]442x42x3x2+1179。0\當x206。R時，即 1+2x4179。2x3+x2 證明 n(n+1)n+1+++....+(n1).分析 題中含n,但此題用數(shù)學歸納法不易證明,++188。+(1+1)+(1+）+188。+（1+)23n=2n nn34n+12+++188。+nn2...n+1=nn+1（再變形）=2323nn11111n+1+++....+(1+1)+(1+)+....+(1+)23n=2n證：nnn+1+1n12131n第2頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)2+ =1n34n+1++....+23nn234....n+1=nn+1n23n131n所以 n(n+1)n+1+++....+ 求證：1112+11+?+n(n1,n為自然數(shù))2n 分析 與自然數(shù)有關(guān)的問題,=K時成立,需證n=K+1時也成立,需證明K+K+1K+1,可采用“湊項”的方法： K+1KK+1+1KK+1K+11===K+1K+1K+1K+1K+111+12=2+12=2+2,右邊=2,所以, 2 證：(1)當n=2時,左邊=左邊右邊.(2)假設(shè)n=K時, 1111+11+?+K成立,則當n=K+1時, 2K+1111+?++ K+K+12K+1KKK+1+1K+1 =KK+1K+1=K+1=K+1K+1綜上所述： （1）利用特殊值證明不等式11+11+?+n 2n特殊性存在于一般規(guī)律之中,（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設(shè)計) 已知ab,b0,a+b=（a+）(b+)≥185。b時，（a+）(b+)≥.故可設(shè)a=+xab2411b= x,(|x|且x185。0)22證：考慮a與b都去特殊值,既當a=b=時有（2+）（2+）=4則a2+1b2+1(a2+1)(b2+1)(ab1)2+111（a+）(b+)=== abababab33(+x2)2+1(+x2)2+125=44=.114x244故原不等式得證.（2）利用分子有理化證明不等式分母有理化是初中數(shù)學教材中重要知識,它有著廣泛的應用,而分子有理化也隱含于各種習題之中,它不但有各種廣泛的作用,[1] 求證131212+11 \113+12113+12,1211=112+11, 112+11即 1312四種“平均”之間的關(guān)系,既調(diào)和平均數(shù)H(a)≤幾何平均數(shù)G(a)≤第4頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)算數(shù)平均數(shù)A(a)≤平方平均數(shù)Q(a).寫得再詳細些就是：若a1,a2,a3188。，an都是正實數(shù),則：111aa+12+188。+1≤na1a2188。an≤a1+a2+188。+ann≤a21+a2+188。+ann22an（注：這一串不等式在不等式證明中起著舉足輕重的作用.） 已知ab,求證a+證：a+1≥3(ab)b111=(ab)+b +≥33(ab)b=3(ab)b(ab)b(ab)b（4）充分利用一些重要結(jié)論,使解題簡捷①對實數(shù)a,b,c,d有a2+b2≥2ab=ab+ba。a2+b2+c2ab+bc+ca。a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.②若a,b同號,則+≥2；若a,b,c均為正數(shù),則++≥+b2a+b2 ③若是正數(shù),則≥≥ab≥（當且僅當a=b時等號1122+abbaabbacbac成立）a2+b2+c2a+b+c3 若a,b,c是正數(shù),則≥3abc≥11133++abc（當且僅當a=b=c時等號成立） 若a,b,c0,且a+b+c=1,求證 ++179。9第5頁（共13頁）1a1b1c數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)分析 證法較多,但由a+b+c=1與++之間的聯(lián)系,：由算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均的關(guān)系可知a+b+c3 179。1113++ab