[理學]不等式證明的若干方法(編輯修改稿)
2025-09-17 15:17 本頁面
【文章內容簡介】 ，即.又由 ,知的極大值點必在時取得.由于當時，故得不等式.同理，可推廣到關于個變元的情形.例12 設為三角形的三內角，求證：.證明 由標準化定理得，當時， ， 取最大值，故 .應用一些等式的結論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明.例13（1956年波蘭數學競賽題）、為的三邊長，求證：.證明 由海倫公式，其中.兩邊平方，移項整理得而,所以 . 按照一定的法則，把一個數或式分解為幾個數或式，使復雜問題轉化為簡單易解的基本問題，以便分而治之，各個擊破，從而達到證明不等式的目的.例14 ，且，求證：.證明 因為 .所以 .[910]在證明不等式時，有時通過構造某種模型、函數、恒等式、復數等，可以達到簡捷、明快、以巧取勝的目的.例15 已知：，求證：.證明 依題設，構造復數，則，所以 故 .[11]利用排序不等式來證明某些不等式.排序不等式：設，則有.簡記作：反序和亂序和同序和. 例16 求證：.證明 因為有序，所以根據排序不等式同序和最大，即 .[12]借助幾何圖形，運用幾何或三角知識可使某些證明變易.例17 已知：，且，求證：.證明 ()以為斜邊，為直角邊作.延長AB至D，使，延長AC至E，使，過C作AD的平行線交DE于F，則∽，令，所以 又，即，所以 . 2 利用函數證明不等式通過變換，把某些問題歸納為求函數的極值，達到證明不等式的目的.例18 設，求證：.證明 當時， 當時， 故 .[1314]當屬于某區(qū)間，有，則單調上升；若，若證，只須證及即可.例 19 證明不等式 ，證明 設則故當時，嚴格遞增；，則當時， 從而證得 利用中值定理：是在區(qū)間上有定義的連續(xù)函數，且可導，則存在，滿足來證明某些不等式，達到簡便的目的.例20 求證：.證明 設 ，則故 .例 21 證明不等式 其中為任意正實數.證明 設拉格朗日函數為對 對L求偏導數并令它們都等于0，則有，，由方程組的前三式，易的把它代入第四式，求出從而函數L的穩(wěn)定點為為了判斷是否為所求條件極小值，我們可把條件看作隱函數（滿足隱函數定理條件），：當時，由此可見，所求得的穩(wěn)定點為極小值點，令則代入不等式有或 3 利用著名不等式證明[1516] 設是n個正實數，則，當且僅當時取等號.例22 證明柯西不等式 證明 要證柯西不等式成立，只要證 （1）令 （2） 式中則（1）即 即 （3）下面證不等式(3),有均值不等式，即 ，同理 ， ，.將以上各式相加，得 (4)根據（2），（4）式即 .因此不等式（3）成立，于是柯西不等式得證.[1718]例23 設，，…，．求證：．證明 由柯西不等式．兩邊除以即得．說明：兩邊乘以后開方得．當為正數時為均值不等式中的算術平均不大于平方平均．[19]例24 設為正常數，，求證： 證明 = = 即 [20]例 25 證明不等式 其中均為正數.證明 設 由的一階和二階導數可見，從而即又因所以 參考文獻[1]李長明,[M].北京:高等教育出版社,1995,253263.[2][J].數學教學研究,2005,10(3):8991.[3]胡炳生,[M].北京:高等教育出版社,1998,4550.[4][J].中等數學,2006,45(5):2931.[5][J].數學通報,2005,15(2):7579. [6][M].濟南：山東科技出版社,2004,2334.[7][J].數學通報,2006,45(4):5455.[8]Priestley M B ,Chao M function fitting[J].J R .（Series B）,1972,34:385392.[9][J].數學通報
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