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正文內(nèi)容

[理學(xué)]不等式證明的若干方法(編輯修改稿)

2024-09-17 15:17 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ,即.又由 ,知的極大值點(diǎn)必在時(shí)取得.由于當(dāng)時(shí),故得不等式.同理,可推廣到關(guān)于個(gè)變?cè)那樾?例12 設(shè)為三角形的三內(nèi)角,求證:.證明 由標(biāo)準(zhǔn)化定理得,當(dāng)時(shí), , 取最大值,故 .應(yīng)用一些等式的結(jié)論,可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明.例13(1956年波蘭數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)、為的三邊長,求證:.證明 由海倫公式,其中.兩邊平方,移項(xiàng)整理得而,所以 . 按照一定的法則,把一個(gè)數(shù)或式分解為幾個(gè)數(shù)或式,使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易解的基本問題,以便分而治之,各個(gè)擊破,從而達(dá)到證明不等式的目的.例14 ,且,求證:.證明 因?yàn)?.所以 .[910]在證明不等式時(shí),有時(shí)通過構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、復(fù)數(shù)等,可以達(dá)到簡(jiǎn)捷、明快、以巧取勝的目的.例15 已知:,求證:.證明 依題設(shè),構(gòu)造復(fù)數(shù),則,所以 故 .[11]利用排序不等式來證明某些不等式.排序不等式:設(shè),則有.簡(jiǎn)記作:反序和亂序和同序和. 例16 求證:.證明 因?yàn)橛行?,所以根?jù)排序不等式同序和最大,即 .[12]借助幾何圖形,運(yùn)用幾何或三角知識(shí)可使某些證明變易.例17 已知:,且,求證:.證明 ()以為斜邊,為直角邊作.延長AB至D,使,延長AC至E,使,過C作AD的平行線交DE于F,則∽,令,所以 又,即,所以 . 2 利用函數(shù)證明不等式通過變換,把某些問題歸納為求函數(shù)的極值,達(dá)到證明不等式的目的.例18 設(shè),求證:.證明 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 故 .[1314]當(dāng)屬于某區(qū)間,有,則單調(diào)上升;若,若證,只須證及即可.例 19 證明不等式 ,證明 設(shè)則故當(dāng)時(shí),嚴(yán)格遞增;,則當(dāng)時(shí), 從而證得 利用中值定理:是在區(qū)間上有定義的連續(xù)函數(shù),且可導(dǎo),則存在,滿足來證明某些不等式,達(dá)到簡(jiǎn)便的目的.例20 求證:.證明 設(shè) ,則故 .例 21 證明不等式 其中為任意正實(shí)數(shù).證明 設(shè)拉格朗日函數(shù)為對(duì) 對(duì)L求偏導(dǎo)數(shù)并令它們都等于0,則有,,由方程組的前三式,易的把它代入第四式,求出從而函數(shù)L的穩(wěn)定點(diǎn)為為了判斷是否為所求條件極小值,我們可把條件看作隱函數(shù)(滿足隱函數(shù)定理?xiàng)l件),:當(dāng)時(shí),由此可見,所求得的穩(wěn)定點(diǎn)為極小值點(diǎn),令則代入不等式有或 3 利用著名不等式證明[1516] 設(shè)是n個(gè)正實(shí)數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).例22 證明柯西不等式 證明 要證柯西不等式成立,只要證 (1)令 (2) 式中則(1)即 即 (3)下面證不等式(3),有均值不等式,即 ,同理 , ,.將以上各式相加,得 (4)根據(jù)(2),(4)式即 .因此不等式(3)成立,于是柯西不等式得證.[1718]例23 設(shè),,…,.求證:.證明 由柯西不等式.兩邊除以即得.說明:兩邊乘以后開方得.當(dāng)為正數(shù)時(shí)為均值不等式中的算術(shù)平均不大于平方平均.[19]例24 設(shè)為正常數(shù),,求證: 證明 = = 即 [20]例 25 證明不等式 其中均為正數(shù).證明 設(shè) 由的一階和二階導(dǎo)數(shù)可見,從而即又因所以 參考文獻(xiàn)[1]李長明,[M].北京:高等教育出版社,1995,253263.[2][J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2005,10(3):8991.[3]胡炳生,[M].北京:高等教育出版社,1998,4550.[4][J].中等數(shù)學(xué),2006,45(5):2931.[5][J].數(shù)學(xué)通報(bào),2005,15(2):7579. [6][M].濟(jì)南:山東科技出版社,2004,2334.[7][J].數(shù)學(xué)通報(bào),2006,45(4):5455.[8]Priestley M B ,Chao M function fitting[J].J R .(Series B),1972,34:385392.[9][J].數(shù)學(xué)通報(bào)
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