證明不等式的思想方法秘笈(編輯修改稿)
2025-05-05 04:11 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 合思想”：即從“欲知”想“需知”(分析)；從已知推“可知”，雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小“知”與“求”之間的差距，溝通已知條件和結(jié)論.(Ⅳ)反證思想一個(gè)命題與其否命題必有一真一假，通過(guò)證明一個(gè)命題的否定命題的不真，從而肯定原命題真實(shí)的思想方法.例4：設(shè)，，求證x，y，z都不小于零且都不大于.證法一：假設(shè)，則，而由基本不等式有：，與矛盾 ，∴；假設(shè)，則令，，此時(shí)且，于是，與矛盾，所以假設(shè)不成立，即；綜上有，同法得，.點(diǎn)評(píng)：⑴當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論涉及：“否定”性質(zhì)；“唯一”性質(zhì)； “至少”性質(zhì)；“無(wú)限”性質(zhì)中的一個(gè)時(shí)，常用反證思想；⑵在證明時(shí)，在假設(shè)后，對(duì)x使用了增量換元，而對(duì)剩下的y與z用了均值換元.(Ⅴ)函數(shù)思想不等式與函數(shù)是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的兩個(gè)亮點(diǎn)，不等式與函數(shù)的交匯是最平凡和最偉大的，用函數(shù)理論、函數(shù)性質(zhì)處理不等式問題是一個(gè)具有青春活力的老課題.例5：已知，求證：.分析：所證式酷似判別式，試圖通過(guò)構(gòu)造一元二次函數(shù)投石問路，探明相應(yīng)的一元二次方程根的情況.證明：若，則已知為，故，此時(shí)所證不等式成立；當(dāng)時(shí)，已知為，則，∴二次函數(shù)的圖象與軸必有兩交點(diǎn)，于是，即.綜上，所證不等式成立.點(diǎn)評(píng)：⑴本題由所證不等式的形式聯(lián)想到一元二次方程根的判別式，此后機(jī)敏地溝通函
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