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不等式的證明方法畢業(yè)論文(編輯修改稿)

2024-07-21 19:24 本頁面
 

【文章內容簡介】 理 所以 利用基本不等式基本不等式公式:(當且僅當時取“”);(當且僅當時取“”)。推廣:(當且僅當=時取“”);當, 為正數(shù)時,(當且僅當 時取“”)。把欲證不等式變形后再放縮,具體根據(jù)所證不等式的結構特征來選取所需不等式的具體形式。 已知,證明:不等式對任意正整數(shù)都成立。證明 要證 只要證 因為 ,故只要證 即只要證 因為 所以命題得證。本題通過化簡整理之后,再利用基本不等式,由放大,最終得到要證的不等式。 若,且,求證:。分析 由,聯(lián)想基本不等式成立的條件,把代換中的“1”, 要證不等式變?yōu)椋?。亦?發(fā)現(xiàn)與互為倒數(shù),已具備基本不等式的特征。證明 因為  利用均值不等式 ∴ ∵ 兩端的結構、數(shù)字具有如下特征: (1) 次數(shù)相等; (2) 項數(shù)相等或不等式右側系數(shù)與左側項數(shù)相等; (3) 一邊為和一邊為積。 當要證的不等式具有上述特征時,考慮用基本不等式證明。 分式放縮一個分式若分子變大則分式值變大,若分母變大則分式值變小,一個真分式,分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大,利用這些性質,可達到證題目的。 已知為三角形的三邊,求證: 證明 由于為正數(shù),所以,所以又為三角形的邊,故,則為真分數(shù),則同理 ,故 綜合得成立。例 已知,求證明 因為成立, 所以 =有成立。 此題不等式左邊不易求和,此時根據(jù)不等式右邊特征,先將分式裂項,再對分母進行放縮,從而對左邊可以進行求和。若分子, 分母同時存在變量時, 要設法使其中之一變?yōu)槌A?。分式的放縮對于分子分母均取正值的分式,如需放大,則只要把分子放大或分母縮小即可;如需縮小,則只要把分子縮小或分母放大即可。用放縮法證明數(shù)列不等式,關鍵是要把握一個度,如果放得過大或縮得過小,就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣,要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式,需要積累一定的不等式知識,同時要求我們具有相當?shù)臄?shù)學思維能力和一定的解題智慧。 迭合法把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分,分別證明其各部分成立,再利用同向不等式相加或相乘的性質,使原不等式獲證. 例7 已知:,求證: 證明: 因為,所以 ,由柯西不等式所以原不等式獲證 數(shù)學歸納法[8]對于含有的不等式,當取第一個值時不等式成立,如果使不等式在時成立的假設下,還能證明不等式在時也成立,那么肯定這個不等式對取第一個值以后的自然數(shù)都能成立.例8 已知:,,求證:.證明 (1)當時,不等式成立;(2)若時,成立,則=,即成立.根據(jù)(1)、(2),對于大于1的自然數(shù)都成立. 構造解析幾何模型證明不等式 如果不等式兩邊可以通過某種方式與圖形建立聯(lián)系,則可根據(jù)已知式的結構挖掘出它的幾何背景,通過構造解析幾何模型,化數(shù)為形,利用數(shù)學模型的直觀性,將不等式表達的抽象數(shù)量關系轉化為圖形加以解決. 例13 設a>0,b>0,a+b = 1,求證:+≤2yxx+y = 02ABDCO證明:所證不等式變形為:≤2這可認為是點A()到直線 x+y = 0的距離.但因()+()= 4,故點A在圓x+y= 4 (x>0,y>0)上.如圖所示
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