不等式的證明方法畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-07-21 19:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 理 所以 利用基本不等式基本不等式公式：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）。推廣：（當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取“”）；當(dāng)， 為正數(shù)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“”）。把欲證不等式變形后再放縮，具體根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需不等式的具體形式。 已知，證明：不等式對(duì)任意正整數(shù)都成立。證明 要證 只要證 因?yàn)? ，故只要證 即只要證 因?yàn)? 所以命題得證。本題通過化簡(jiǎn)整理之后，再利用基本不等式，由放大，最終得到要證的不等式。 若，且，求證：。分析 由，聯(lián)想基本不等式成立的條件，把代換中的“1”， 要證不等式變?yōu)椋?。亦?發(fā)現(xiàn)與互為倒數(shù)，已具備基本不等式的特征。證明 因?yàn)? 利用均值不等式 ∴ ∵ 兩端的結(jié)構(gòu)、數(shù)字具有如下特征： （1） 次數(shù)相等； （2） 項(xiàng)數(shù)相等或不等式右側(cè)系數(shù)與左側(cè)項(xiàng)數(shù)相等； （3） 一邊為和一邊為積。 當(dāng)要證的不等式具有上述特征時(shí)，考慮用基本不等式證明。 分式放縮一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。 已知為三角形的三邊，求證： 證明 由于為正數(shù)，所以，所以又為三角形的邊，故，則為真分?jǐn)?shù)，則同理 ，故 綜合得成立。例 已知，求證明 因?yàn)槌闪ⅲ? 所以 =有成立。 此題不等式左邊不易求和,此時(shí)根據(jù)不等式右邊特征，先將分式裂項(xiàng)，再對(duì)分母進(jìn)行放縮，從而對(duì)左邊可以進(jìn)行求和。若分子, 分母同時(shí)存在變量時(shí), 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ?。分式的放縮對(duì)于分子分母均取正值的分式，如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。 迭合法把所要證明的結(jié)論先分解為幾個(gè)較簡(jiǎn)單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)，使原不等式獲證. 例7 已知：，求證: 證明： 因?yàn)?，所? ，由柯西不等式所以原不等式獲證 數(shù)學(xué)歸納法[8]對(duì)于含有的不等式，當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)不等式成立，如果使不等式在時(shí)成立的假設(shè)下，還能證明不等式在時(shí)也成立，那么肯定這個(gè)不等式對(duì)取第一個(gè)值以后的自然數(shù)都能成立.例8 已知：，，求證：.證明 （1）當(dāng)時(shí)，不等式成立；（2）若時(shí)，成立，則=，即成立.根據(jù)（1）、（2），對(duì)于大于1的自然數(shù)都成立. 構(gòu)造解析幾何模型證明不等式 如果不等式兩邊可以通過某種方式與圖形建立聯(lián)系，則可根據(jù)已知式的結(jié)構(gòu)挖掘出它的幾何背景，通過構(gòu)造解析幾何模型，化數(shù)為形，利用數(shù)學(xué)模型的直觀性，將不等式表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形加以解決． 例13 設(shè)a＞0，b＞0，a＋b = 1，求證：＋≤2yxx＋y = 02ABDCO證明：所證不等式變形為：≤2這可認(rèn)為是點(diǎn)A()到直線 x＋y = 0的距離．但因()＋()= 4，故點(diǎn)A在圓x＋y= 4 (x＞0，y＞0)上．如圖所示
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