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正文內(nèi)容

不等式的證明方法畢業(yè)論文(編輯修改稿)

2024-07-21 19:24 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 理 所以 利用基本不等式基本不等式公式:(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”);(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)。推廣:(當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取“”);當(dāng), 為正數(shù)時(shí),(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“”)。把欲證不等式變形后再放縮,具體根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需不等式的具體形式。 已知,證明:不等式對(duì)任意正整數(shù)都成立。證明 要證 只要證 因?yàn)? ,故只要證 即只要證 因?yàn)? 所以命題得證。本題通過化簡(jiǎn)整理之后,再利用基本不等式,由放大,最終得到要證的不等式。 若,且,求證:。分析 由,聯(lián)想基本不等式成立的條件,把代換中的“1”, 要證不等式變?yōu)椋?。亦?發(fā)現(xiàn)與互為倒數(shù),已具備基本不等式的特征。證明 因?yàn)? 利用均值不等式 ∴ ∵ 兩端的結(jié)構(gòu)、數(shù)字具有如下特征: (1) 次數(shù)相等; (2) 項(xiàng)數(shù)相等或不等式右側(cè)系數(shù)與左側(cè)項(xiàng)數(shù)相等; (3) 一邊為和一邊為積。 當(dāng)要證的不等式具有上述特征時(shí),考慮用基本不等式證明。 分式放縮一個(gè)分式若分子變大則分式值變大,若分母變大則分式值變小,一個(gè)真分式,分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大,利用這些性質(zhì),可達(dá)到證題目的。 已知為三角形的三邊,求證: 證明 由于為正數(shù),所以,所以又為三角形的邊,故,則為真分?jǐn)?shù),則同理 ,故 綜合得成立。例 已知,求證明 因?yàn)槌闪ⅲ? 所以 =有成立。 此題不等式左邊不易求和,此時(shí)根據(jù)不等式右邊特征,先將分式裂項(xiàng),再對(duì)分母進(jìn)行放縮,從而對(duì)左邊可以進(jìn)行求和。若分子, 分母同時(shí)存在變量時(shí), 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌A?。分式的放縮對(duì)于分子分母均取正值的分式,如需放大,則只要把分子放大或分母縮小即可;如需縮小,則只要把分子縮小或分母放大即可。用放縮法證明數(shù)列不等式,關(guān)鍵是要把握一個(gè)度,如果放得過大或縮得過小,就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣,要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式,需要積累一定的不等式知識(shí),同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。 迭合法把所要證明的結(jié)論先分解為幾個(gè)較簡(jiǎn)單部分,分別證明其各部分成立,再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì),使原不等式獲證. 例7 已知:,求證: 證明: 因?yàn)?,所? ,由柯西不等式所以原不等式獲證 數(shù)學(xué)歸納法[8]對(duì)于含有的不等式,當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)不等式成立,如果使不等式在時(shí)成立的假設(shè)下,還能證明不等式在時(shí)也成立,那么肯定這個(gè)不等式對(duì)取第一個(gè)值以后的自然數(shù)都能成立.例8 已知:,,求證:.證明 (1)當(dāng)時(shí),不等式成立;(2)若時(shí),成立,則=,即成立.根據(jù)(1)、(2),對(duì)于大于1的自然數(shù)都成立. 構(gòu)造解析幾何模型證明不等式 如果不等式兩邊可以通過某種方式與圖形建立聯(lián)系,則可根據(jù)已知式的結(jié)構(gòu)挖掘出它的幾何背景,通過構(gòu)造解析幾何模型,化數(shù)為形,利用數(shù)學(xué)模型的直觀性,將不等式表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形加以解決. 例13 設(shè)a>0,b>0,a+b = 1,求證:+≤2yxx+y = 02ABDCO證明:所證不等式變形為:≤2這可認(rèn)為是點(diǎn)A()到直線 x+y = 0的距離.但因()+()= 4,故點(diǎn)A在圓x+y= 4 (x>0,y>0)上.如圖所示
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