不等式的證明方法畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-07-21 19:24 本頁面
【文章內容簡介】 理 所以 利用基本不等式基本不等式公式：（當且僅當時取“”）；（當且僅當時取“”）。推廣：（當且僅當=時取“”）；當， 為正數(shù)時，（當且僅當 時取“”）。把欲證不等式變形后再放縮，具體根據(jù)所證不等式的結構特征來選取所需不等式的具體形式。 已知，證明：不等式對任意正整數(shù)都成立。證明 要證 只要證 因為 ，故只要證 即只要證 因為 所以命題得證。本題通過化簡整理之后，再利用基本不等式，由放大，最終得到要證的不等式。 若，且，求證：。分析 由，聯(lián)想基本不等式成立的條件，把代換中的“1”， 要證不等式變?yōu)椋?。亦?發(fā)現(xiàn)與互為倒數(shù)，已具備基本不等式的特征。證明 因為 利用均值不等式 ∴ ∵ 兩端的結構、數(shù)字具有如下特征： （1） 次數(shù)相等； （2） 項數(shù)相等或不等式右側系數(shù)與左側項數(shù)相等； （3） 一邊為和一邊為積。 當要證的不等式具有上述特征時，考慮用基本不等式證明。 分式放縮一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大，利用這些性質，可達到證題目的。 已知為三角形的三邊，求證： 證明 由于為正數(shù)，所以，所以又為三角形的邊，故，則為真分數(shù)，則同理 ，故 綜合得成立。例 已知，求證明 因為成立， 所以 =有成立。 此題不等式左邊不易求和,此時根據(jù)不等式右邊特征，先將分式裂項，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和。若分子, 分母同時存在變量時, 要設法使其中之一變?yōu)槌Ａ?。分式的放縮對于分子分母均取正值的分式，如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。用放縮法證明數(shù)列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當?shù)臄?shù)學思維能力和一定的解題智慧。 迭合法把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質，使原不等式獲證. 例7 已知：，求證: 證明： 因為，所以 ，由柯西不等式所以原不等式獲證 數(shù)學歸納法[8]對于含有的不等式，當取第一個值時不等式成立，如果使不等式在時成立的假設下，還能證明不等式在時也成立，那么肯定這個不等式對取第一個值以后的自然數(shù)都能成立.例8 已知：，，求證：.證明 （1）當時，不等式成立；（2）若時，成立，則=，即成立.根據(jù)（1）、（2），對于大于1的自然數(shù)都成立. 構造解析幾何模型證明不等式 如果不等式兩邊可以通過某種方式與圖形建立聯(lián)系，則可根據(jù)已知式的結構挖掘出它的幾何背景，通過構造解析幾何模型，化數(shù)為形，利用數(shù)學模型的直觀性，將不等式表達的抽象數(shù)量關系轉化為圖形加以解決． 例13 設a＞0，b＞0，a＋b = 1，求證：＋≤2yxx＋y = 02ABDCO證明：所證不等式變形為：≤2這可認為是點A()到直線 x＋y = 0的距離．但因()＋()= 4，故點A在圓x＋y= 4 (x＞0，y＞0)上．如圖所示
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