不等式的證明方法畢業(yè)論文-wenkub
2023-07-09 19:24:37 本頁面
【正文】 要的內(nèi)容，雖然不等關(guān)系要比相等關(guān)系更加廣泛的存在于現(xiàn)實(shí)的世界里，不等式的理論才逐漸發(fā)展起來，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要組成部分.在研究數(shù)學(xué)的不等式過程中，有許多的內(nèi)容都十分的有用，如：不等式的性質(zhì)、不等式的證明方法和不等式的解法. 在本文中，我們就不一一說明了，而主要的介紹一些證明不等式的常用方法、深化一下我們對(duì)不等式證明方法的認(rèn)識(shí)，以便于可以站在更高的角度來研究數(shù)學(xué)不等式.2 不等式證明的基本方法 比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較的最直接的方法，比較法可分為作差比較法和作商比較法。 已知 求證：。 設(shè)，求證：。分析 由于，所以求證的不等式兩邊的值都大于零，可采用作差比較法或作商比較法。例3：求證證明：為了證明原不等式成立，只需證明即 ，只需證明成立原不等式成立運(yùn)用分析法時(shí)，需積累一些解題經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)一些常規(guī)思路，這樣可以克服無目的的亂碰，從而加強(qiáng)針對(duì)性，較快地探明解題途。 （4） 肯定原來命題的結(jié)論是正確的。分析 命題知，已知，證明成立，采用反證法。證明 假設(shè)，都大于, 因?yàn)槎际切∮冢钡恼龜?shù)，從而， 所以 同理 由上式相加得，顯然矛盾 故，至少有一個(gè)不大于。 三角代換法三角代換法多用于條件不等式證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都用同一個(gè)參數(shù)表示。證明 設(shè)，則 == = 三角代換法,多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示。對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式，可引入一個(gè)變量進(jìn)行代換，以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。 “添舍”放縮通過對(duì)不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)，即不等式中，通過傳遞性，添加或舍去某項(xiàng)，使得不等式的和（或積）變大或變小，以達(dá)到解題目的。 已知，證明：不等式對(duì)任意正整數(shù)都成立。分析 由，聯(lián)想基本不等式成立的條件，把代換中的“1”， 要證不等式變?yōu)?，即?分式放縮一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。若分子, 分母同時(shí)存在變量時(shí), 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ俊?迭合法把所要證明的結(jié)論先分解為幾個(gè)較簡(jiǎn)單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)，使原不等式獲證. 例7 已知：，求證: 證明： 因?yàn)?，所? ，由柯西不等式所以原不等式獲證 數(shù)學(xué)歸納法[8]對(duì)于含有的不等式，當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)不等式成立，如果使不等式在時(shí)成立的假設(shè)下，還能證明不等式在時(shí)也成立，那么肯定這個(gè)不等式對(duì)取第一個(gè)值以后的自然數(shù)都能成立.例8 已知：，求證：.證明 （1）當(dāng)時(shí)，不等式成立；（2）若時(shí)，成立，則=，即成立.根據(jù)（1）、（2），對(duì)于大于1的自然數(shù)都成立. 構(gòu)造解析幾何模型證明不等式 如果不等式兩邊可以通過某種方式與圖形建立聯(lián)系，則可根據(jù)已知式的結(jié)構(gòu)挖掘出它的幾何背景，通過構(gòu)造解析幾何模型，化數(shù)為形，利用數(shù)學(xué)模型的直觀性，將不等式表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形加以解決． 例13 設(shè)a＞0，b＞0，a＋b = 1，求證：＋≤2yxx＋y = 02A
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