【正文】 .................................................. 1 第一章 知識準(zhǔn)備 ................................................................................................................. 2 微分中值定理定義 ................................................................................................. 2 微分中值定理證明不等式的步驟 ......................................................................... 3 第二章 利用羅爾中值定理證明不等式 ............................................................................. 4 羅爾中值定理的意義及分析 ................................................................................. 4 羅爾中值定理的應(yīng)用 ............................................................................................ 4 第三章 利用拉格朗日中值定理證明不等式 ..................................................................... 5 拉格朗日中值定理的意義及分析 ......................................................................... 5 拉格朗日中值定理證明不等式 ............................................................................. 5 第四章 利用柯西中值定理證明不等式 ............................................................................. 8 柯西中值定理的分析 ............................................................................................. 8 柯西中值定理證明不等式 ..................................................................................... 8 第五章 利用泰勒中值定理證明不等式 ........................................................................... 11 泰勒中值定理證明不等式的方法歸納 ............................................................... 11 ................................................................................... 11 第六章 綜合利用微分中值定理證明不等式 ................................................................... 14 通過求極值點證明不等式 ................................................................................... 14 第七章 微分 中值定理證明不等式在解題中的應(yīng)用 ....................................................... 16 第八章 基本不等式在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用 ....................................................................... 18 第九章 研究總結(jié) ............................................................................................................... 20 參 考 文 獻 ....................................................................................................................... 21 致 謝 ................................................................................................................................. 22 1 引 言 不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容 ,也是數(shù)學(xué)中的重要的方法和工具 .在微分學(xué)中 ,微分中值定理 ,函數(shù)單調(diào)性判定定理及極值等重要的結(jié)論都可以用來證明不等式 .本文通過幾個具體的例子來具體說明微分中值定理在證明不等式中的運用 ,以及不同的微分中值定理在解決證明不等式的區(qū)別，并且還給出基本不等式在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用 . 數(shù)學(xué)問題的解決關(guān)鍵在于我們對待數(shù)學(xué)問題的方法，如果在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們能有意識地將數(shù)學(xué)問題系列化，解決數(shù)學(xué)問題的方法系列化，那么解決數(shù)學(xué)問題的能力將會得到升華 .在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，不等式的證明是可以作為一個系列問題來看待的，不等式的證明是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是難點之一，其常用的方法有：比較法、綜合法、分析法、重要不等式法、數(shù)學(xué)歸納法等，而有一些問題用上述方法解決是困難的，在學(xué)完中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的內(nèi)容以后，可以利用微分中值定理 、函數(shù)的單調(diào)性、常數(shù)變易法、函數(shù)極值性、凸凹性等知識解決一些不等式證明的問題 .因此，微分中值定理為證明不等式注入了新的活力，這一創(chuàng)造性思維有效合理的使不等式獲得證明，從而體現(xiàn)出初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的緊密聯(lián)系 .隨著時代的發(fā)展，科技的進步及課程改革的不斷深入，微分中值定理的應(yīng)用必將滲透到社會領(lǐng)域的方方面面 . 2 第一章 知識準(zhǔn)備 微分中值定理定義 微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中非常重要的基本定理 .微分中值定理是指羅爾中值定理 ,拉格朗日中值定理 ,柯西中值定理以及泰勒中值定理 .微分中值定理在數(shù)學(xué)分析及高等 數(shù)學(xué)中的地位是不容置疑的 ,且在解題中的應(yīng)用也是十分廣泛的 .在這里我們就利用微分中值定理證明不等式的方法作一簡述 . 首先我們要先介紹一下微分中值定理 : 定理 1 羅爾中值定理 :如果函數(shù) ()fx在閉區(qū)間 ? ?,ab 上連續(xù) ,在開區(qū)間 ? ?,ab 內(nèi)可導(dǎo) ,且滿足 ( ) ( )f a f b? ,那么在 ? ?,ab 內(nèi)至少存在一點 ? ,使得 ( ) 0f ?? ? . 定理 2 拉格朗日中值定理 :如果函數(shù) ()fx在閉區(qū)間 ? ?,ab 上連續(xù) ,在開區(qū)間? ?,ab 內(nèi)可導(dǎo) , 那么在 ? ?,ab 內(nèi)至少存在一點 ? ,使得 ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a??? ? ?. 當(dāng)函數(shù) ()fx在 ? ?,ab 內(nèi)的變化范圍已知時 ,有 ()m f x M???,于是可以利用拉格朗日定理來證明 ( ) ( ) ( ) ( )m b a f b f a M b a? ? ? ? ?一類的不等式 . 定理 3 柯西中值定理 :如果函數(shù) ( ), ( )f x g x 在閉區(qū)間 ? ?,ab 上連續(xù) ,在開區(qū)間 ? ?,ab 內(nèi)可導(dǎo) ,且 ()gx? 在 ? ?,ab 內(nèi)每一點均不為零 ,那么在 ? ?,ab 內(nèi)至少存在一點 ? ,使得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f b f a fg b g a g ???? ? ?? . 定理 4 泰勒中值定理 :如果函數(shù) ()fx在含有點 0x 的區(qū)間 D 上有直到 ( 1)n? 階的導(dǎo)數(shù) ,則函數(shù) ()fx在 D 內(nèi)可表示成一個多項式 ()nPx與一個余項式 ()nRx的和 : 2021 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( ) ( )2 ! !n n nf x f xf x f x f x x x x x x x R xn???? ? ? ? ? ? ? ? ?. 其中 1 1()( ) ( )( 1 ) !n nn fR x xn ? ?? ????, 0( , )xx?? . 注 :當(dāng) 0n? 時 ,即為拉格朗日中值定理 ,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣 .這個公式又稱為帶有朗格朗日型余項的泰勒公式 . 3 微分中值定理證明不等式的步驟 在微分學(xué)中 ,微分中值定理在證明 不等式中起著很大的作用 ,我們可以根據(jù)不等式的兩邊的代數(shù)式選取不同的函數(shù) ()fx,應(yīng)用微分中值定理得出一個等式之后 ,對這個等式根據(jù) x 取值范圍的不同進行討論 ,得到不等式 ,以下通過例子來說明微分中值定理在證明不等式的應(yīng)用 . 因此給出利用微分中值定理證明不等式的步驟 （ 1） 構(gòu)造輔助函數(shù) ()fx （ 2）構(gòu)造微分中值定理需要的區(qū)間 ? ?ba, （ 2） 利用 ? ?ba,?? ，對 f,?進行適當(dāng)?shù)姆趴s